Questão 1 Considere a função f(x)=ln (4-x^2).
a) (1 pt) Determine o domínio de f e as assíntotas horizontais e verticais de f, se existirem.
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os máximos e mínimos locais de f.
c) (1 pt) Determine a concavidade de f e os pontos de inflexão, se existirem. Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=lnl(4-x^2r)
e pede:
  • a) domínio de f e assíntotas horizontais e verticais;
  • b) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
  • c) concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.
    Vamos usar domínio de logaritmo, definição de assíntotas, derivadas primeira e segunda, e testes de monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Para achar o domínio resolvemos
4 - x^2 > 0
que dá -2 < x < 2. Logo
Dom,f = (-2,2)
Nos limites laterais xtopm2^- o argumento vai a zero positivo, então
f(x)=ln(4-x^2)to -infty,
portanto existem assíntotas verticais em x=-2 e x=2. Como o domínio não se estende a pminfty, não há assíntotas horizontais.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira por
f'(x)=ddxln(4-x^2) =-2x4-x^2
O numerador zera em x=0, único ponto crítico. No domínio o denominador é positivo, então
  • para -2<x<0 temos f'(x)>0 (cresce);
  • para 0<x<2 temos f'(x)<0 (decresce).
    Logo x=0 é máximo local e
f(0)=ln(4)=ln4
Não há mínimo local.

Passo 4

A derivada segunda é
f''(x) =ddxl(-2x4-x^2r) =-2x^2+8(4-x^2)^2
Como 2x^2+8>0 e (4-x^2)^2>0 em todo o domínio, f''(x)<0 para todo -2<x<2. Logo f é côncava para baixo em todo o domínio e não há pontos de inflexão.

Passo 5

Para esboçar o gráfico note que:
  • há assíntotas verticais em x=-2 e x=2;
  • f é par (simétrica em relação ao eixo y);
  • cresce até x=0, atinge máximo f(0)=ln4, depois decresce;
  • é côncava para baixo em toda parte;
  • f(x)to -infty conforme xtopm2^-.

Resposta

a) Dom,f = (-2,2). Assíntotas verticais em x=-2 e x=2. Sem assíntotas horizontais.
b) f cresce em (-2,0), decresce em (0,2); tem máximo local em l(0,ln4r) e não tem mínimo.
c) f é côncava para baixo em todo (-2,2), não há ponto de inflexão. O gráfico é um “arco” simétrico, verticalmente assintótico em pm2 e com pico em x=0.

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