Questão 1 Considere a função
.
a) (1 pt) Determine o domínio de
e as assíntotas horizontais e verticais de
, se existirem.
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
e os máximos e mínimos locais de
.
c) (1 pt) Determine a concavidade de
e os pontos de inflexão, se existirem. Esboce o gráfico de
.
a) (1 pt) Determine o domínio de
b) ( 1 pt ) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
c) (1 pt) Determine a concavidade de
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede:
- a) domínio de
e assíntotas horizontais e verticais; - b) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais;
- c) concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico.
Vamos usar domínio de logaritmo, definição de assíntotas, derivadas primeira e segunda, e testes de monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Para achar o domínio resolvemos
que dá
. Logo
Nos limites laterais
o argumento vai a zero positivo, então
portanto existem assíntotas verticais em
e
. Como o domínio não se estende a
, não há assíntotas horizontais.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira por
O numerador zera em
, único ponto crítico. No domínio o denominador é positivo, então
- para
temos (cresce); - para
temos (decresce).
Logoé máximo local e
Não há mínimo local.
Passo 4
A derivada segunda é
Como
e
em todo o domínio,
para todo
. Logo
é côncava para baixo em todo o domínio e não há pontos de inflexão.
Passo 5
Para esboçar o gráfico note que:
- há assíntotas verticais em
e ; -
é par (simétrica em relação ao eixo ); - cresce até
, atinge máximo , depois decresce; - é côncava para baixo em toda parte;
-
conforme .
Resposta
a)
. Assíntotas verticais em
e
. Sem assíntotas horizontais.
b) cresce em
, decresce em
; tem máximo local em
e não tem mínimo.
c) é côncava para baixo em todo
, não há ponto de inflexão. O gráfico é um “arco” simétrico, verticalmente assintótico em
e com pico em
.
b)
c)