Calcule:
lim x -1 log 3 x^2+3 x+2x^2+5 x+4

Passo 1

O enunciado pede
limxto -1log3x^2+3x+2x^2+5x+4,
que é uma composição de logaritmo com uma função racional. Vamos usar fatoração para remover a indeterminação 0/0, em seguida calcular o limite da razão simplificada e, por fim, usar a continuidade do log3.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
x^2+5x+4=(x+1)(x+4)
Logo, para xneq -1,
x^2+3x+2x^2+5x+4 =(x+1)(x+2)(x+1)(x+4) =x+2x+4

Passo 3

Calculamos o limite da razão simplificada:
limxto -1x+2x+4 =-1+2-1+4 =13

Passo 4

Como log3(u) é contínuo para u>0 e em torno de x=-1 a razão tende a 1/3>0, temos
limxto -1log3x^2+3x+2x^2+5x+4 =log3!l(limxto -1tfracx+2x+4r) =log3tfrac13

Passo 5

Basta reconhecer que
log313=-1

Resposta

-1

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