Questão 1) Determine se a série converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{-n}+\frac{1}{n^{5}}+\frac{(-1)^{n}}{2 n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{-n}+\frac{1}{n^{5}}+\frac{(-1)^{n}}{2 n}\right)
e pergunta se ela converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série é a soma termo a termo de três sequências: \left(2^{-n}\right)_{n\ge1}, \left(\dfrac{1}{n^{5}}\right)_{n\ge1} e \left(\dfrac{(-1)^{n}}{2n}\right)_{n\ge1}.
  • O que se pede é: determinar convergência ou divergência da série inteira (e, se pertinente, se é convergente absolutamente ou apenas condicionalmente).

Passo 2

Estratégia básica (propriedade usada): somar séries termo a termo. Se \sum a_n, \sum b_n e \sum c_n são séries convergentes, então \sum (a_n+b_n+c_n) também converge (a soma de séries convergentes converge). Então vamos analisar separadamente as três séries componentes:
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{5}},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2 n}.

Passo 3

Analisar \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}.
  • Esta é uma série geométrica com termo geral 2^{-n}=(1/2)^n. Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} converge se, e só se, |r|<1; neste caso seu valor é \dfrac{r}{1-r}.
  • Aqui r=\dfrac{1}{2} e |r|=\dfrac{1}{2}<1, portanto \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} converge absolutamente (e, de fato, converge a \dfrac{1/2}{1-1/2}=1, embora o valor não seja necessário para responder à questão).

Passo 4

Analisar \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{5}}.
  • Esta é uma série p (p-series) com termo geral 1/n^{p} e parâmetro p=5.
  • Fato: a série p converge se, e só se, p>1.
  • Aqui p=5>1, logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{5}} converge absolutamente.

Passo 5

Analisar \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2 n}.
  • Escrevendo \dfrac{(-1)^{n}}{2 n} = \tfrac{1}{2}\,(-1)^{n}\dfrac{1}{n}. A série \sum (-1)^{n}\dfrac{1}{n} é a série alternada harmônica.
  • Aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz): se (b_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
    • Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=0. Portanto \sum (-1)^n \dfrac{1}{n} converge.
    • Multiplicar por \tfrac{1}{2} apenas escala a série; assim \sum \dfrac{(-1)^{n}}{2 n} converge também.
  • Conclusão: a terceira série converge (é uma série alternada convergente).

Passo 6

Concluir sobre a série original.
  • Como as três séries componentes convergem (as duas primeiras absolutamente e a terceira por teste da série alternada), pela propriedade de linearidade das séries a soma termo a termo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{-n}+\frac{1}{n^{5}}+\frac{(-1)^{n}}{2 n}\right)
converge.

Passo 7

Determinar se a convergência é absoluta ou apenas condicional.
  • Calcular a série das normas (valores absolutos) termo a termo:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|2^{-n}+\frac{1}{n^{5}}+\frac{(-1)^{n}}{2 n}\right|
é complicada de analisar diretamente, mas uma forma simples é mostrar que a série das somas dos módulos dos termos domina a série das normas individuais:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{-n}+\frac{1}{n^{5}}+\frac{1}{2n}\right)
maior ou igual termo a termo a \sum_{n=1}^{\infty}\left|2^{-n}+\frac{1}{n^{5}}+\frac{(-1)^{n}}{2 n}\right| pela desigualdade triangular reversa não dá facilmente, então é melhor raciocinar assim: se a série original fosse absolutamente convergente, então em particular \sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{(-1)^{n}}{2 n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} teria que convergir (porque \left|\dfrac{(-1)^{n}}{2 n}\right| é menor que ou igual ao módulo do termo total somado aos outros positivos? mais direto é verificar a série das absolutas completa).
  • Mais direto: considerar a série das absolutas componentes separadamente:
    • \sum 2^{-n} converge.
    • \sum \dfrac{1}{n^{5}} converge.
    • \sum \left|\dfrac{(-1)^{n}}{2 n}\right| = \sum \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{n} que é uma constante vezes a série harmônica.
  • A série harmônica \sum \dfrac{1}{n} diverge. Portanto \sum \dfrac{1}{2n} diverge.
  • Assim a soma das absolutas dos três componentes
\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{-n}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{5}}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n}\right)
é infinita (porque a terceira parcela diverge). Em particular, a série original não converge absolutamente.
  • Como a série converge, mas não converge absolutamente, dizemos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge, mas não converge absolutamente (convergência condicional).

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