Questão 2) Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{n}}{6 \sqrt{n+1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{n}}{6 \sqrt{n+1}}
e pede para determinar se ela:
  • converge absolutamente;
  • converge condicionalmente;
  • ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{5(-1)^{n}}{6\sqrt{n+1}}.
  • Há um fator alternante (-1)^{n}.
  • O módulo do termo é |a_n|=\dfrac{5}{6\sqrt{n+1}}.

Passo 2

Testando convergência absoluta: considerar a série das magnitudes dos termos, isto é
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{6\sqrt{n+1}}.
Para testar essa série, uso a série-p (p-series) de referência \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}, que converge se, e somente se, p>1 e diverge se p\le 1. Aqui a dependência em n é do tipo n^{-1/2} (ou seja, p=\tfrac{1}{2}), então a série de referência diverge.
Para justificar formalmente a comparação, aplico o teste do limite (limit comparison) com
b_n=\frac{1}{n^{1/2}}.
Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{5}{6\sqrt{n+1}}}{\dfrac{1}{n^{1/2}}} = \frac{5}{6}\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}} = \frac{5}{6}\cdot 1 = \frac{5}{6},
que é um número finito e estritamente positivo. Pelo teste do limite, \sum |a_n| tem o mesmo comportamento (convergente ou divergente) que \sum b_n. Como \sum b_n=\sum n^{-1/2} é divergente (pois p=\tfrac{1}{2}\le 1), segue que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{6\sqrt{n+1}}
também diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 3

Por consequência do passo anterior:
\text{A série não converge absolutamente.}éã

Passo 4

Testando agora convergência condicional: uso o Critério de Leibniz (teste da série alternada). Para aplicar esse teste, escrevo a série no formato alternado
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n \qquad\text{com}\qquad b_n=\frac{5}{6\sqrt{n+1}}.
O Critério de Leibniz diz que se
  1. b_n\ge 0 para todo n,
  2. b_n é monótona decrescente (ou, pelo menos, eventualmente decrescente),
  3. \lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série alternada \sum (-1)^{n} b_n converge.
Verifico as condições:
  • Positividade: claramente b_n=\dfrac{5}{6\sqrt{n+1}}>0 para todo n.
  • Monotonicidade decrescente: para n\ge 1 tem-se \sqrt{n+2}>\sqrt{n+1}, logo
b_{n+1}=\frac{5}{6\sqrt{n+2}}<\frac{5}{6\sqrt{n+1}}=b_n,
portanto b_n é decrescente.
  • Limite nulo: calcular
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{6\sqrt{n+1}} = 0,
porque \sqrt{n+1}\to\infty.
Assim, todas as hipóteses do Critério de Leibniz são satisfeitas, e a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{n}}{6 \sqrt{n+1}}
converge.

Passo 5

Conclusão final combinando os passos:
  • A série das magnitudes diverge (portanto não há convergência absoluta).
  • A série original alternada converge pelo Critério de Leibniz.
Logo a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente. Força aí — essa é uma conclusão bem comum para séries alternadas com decaimento do tipo n^{-1/2}!

Resposta

Converge condicionalmente.

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