Questão 2) Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge:
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela:
- converge absolutamente;
- converge condicionalmente;
- ou diverge.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo geral é
. - Há um fator alternante
. - O módulo do termo é
.
Passo 2
Testando convergência absoluta: considerar a série das magnitudes dos termos, isto é
Para testar essa série, uso a série-p (p-series) de referência
, que converge se, e somente se,
e diverge se
. Aqui a dependência em
é do tipo
(ou seja,
), então a série de referência diverge.
Para justificar formalmente a comparação, aplico o teste do limite (limit comparison) com
Calculo o limite
que é um número finito e estritamente positivo. Pelo teste do limite,
tem o mesmo comportamento (convergente ou divergente) que
. Como
é divergente (pois
), segue que
também diverge. Portanto a série não converge absolutamente.
Passo 3
Por consequência do passo anterior:
Passo 4
Testando agora convergência condicional: uso o Critério de Leibniz (teste da série alternada). Para aplicar esse teste, escrevo a série no formato alternado
O Critério de Leibniz diz que se
-
para todo , -
é monótona decrescente (ou, pelo menos, eventualmente decrescente), -
,
então a série alternada
converge.
Verifico as condições:
-
Positividade: claramente
para todo . -
Monotonicidade decrescente: para
tem-se , logo
portanto
é decrescente.
- Limite nulo: calcular
porque
.
Assim, todas as hipóteses do Critério de Leibniz são satisfeitas, e a série
converge.
Passo 5
Conclusão final combinando os passos:
- A série das magnitudes diverge (portanto não há convergência absoluta).
- A série original alternada converge pelo Critério de Leibniz.
Logo a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente. Força aí — essa é uma conclusão bem comum para séries alternadas com decaimento do tipo
!
Resposta
Converge condicionalmente.