Questão 3. Considere
.
Dentre as afirmações abaixo
I)
converge.
II) O raio de convergência desta série é
III) Esta série é absolutamente convergente para
.
IV) Esta série é convergente para
.
V) Esta série é convergente para
.
Qual afirmação é verdadeira?
A Somente I e IV são afirmações corretas.
B Somente I e II são afirmações corretas.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D Somente I e III são afirmações corretas.
E Somente III e IV são afirmações corretas.
Dentre as afirmações abaixo
I)
II) O raio de convergência desta série é
III) Esta série é absolutamente convergente para
IV) Esta série é convergente para
V) Esta série é convergente para
A Somente I e IV são afirmações corretas.
B Somente I e II são afirmações corretas.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D Somente I e III são afirmações corretas.
E Somente III e IV são afirmações corretas.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
Pergunta-se quais das afirmações I)–V) são verdadeiras:
I) converge.
II) O raio de convergência desta série é .
III) Esta série é absolutamente convergente para .
IV) Esta série é convergente para .
V) Esta série é convergente para .
I)
II) O raio de convergência desta série é
III) Esta série é absolutamente convergente para
IV) Esta série é convergente para
V) Esta série é convergente para
Informações relevantes fornecidas: a série está centrada em
e os coeficientes são
. A minha tarefa é verificar cada afirmação e indicar quais são verdadeiras.
Passo 2
Determinar o raio de convergência
.
Para uma série de potências
o raio de convergência é dado por
Aqui
. Calculo
:
Uso que
. Logo
Portanto
Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
Passo 3
Verificar a afirmação I (teste em
).
Calculo
para
:
Substituindo na série, cada termo fica
Assim a série em
é
, que é convergente (série p com
). Logo I é verdadeira.
Passo 4
Determinar o conjunto de convergência absoluta (para avaliar III).
Faço a troca
. A série torna-se
Para convergência absoluta aplico o teste da raiz: precisa que
, isto é
. Nos pontos em que
(os endpoints) temos que verificar separadamente:
- Para
(isto é ) já vimos que a série vira , que converge absolutamente. - Para
(isto é ) a série vira , cuja série de valores absolutos é , também convergente; portanto há convergência absoluta também neste endpoint.
Portanto a série é absolutamente convergente se, e somente se,
Passo 5
Concluir sobre a afirmação III.
III afirma que a série é absolutamente convergente para
. Comparando com o conjunto real de convergência absoluta correto
, vemos que III está errada: o intervalo dado em III é muito maior e inclui pontos onde
é muito maior que
. Por exemplo,
pertence a
, mas para
temos
e os termos são
cuja magnitude não tende a zero (na verdade cresce), logo a série diverge. Assim III é falsa.
Passo 6
Concluir sobre a afirmação IV.
IV afirma que a série é convergente para todo
. Isso seria verdade só se todo ponto desse intervalo estivesse dentro do intervalo de convergência da série. Mas já vimos que o intervalo de convergência (onde a série converge, sequer falando de absoluta) está contido em
(na verdade a convergência pontual só pode ocorrer em
); portanto muitos
não pertencem ao intervalo de convergência. Por exemplo,
faz a série divergir (mesmo exemplo do passo anterior). Logo IV é falsa.
Passo 7
Concluir sobre a afirmação V.
V afirma que a série é convergente para todo
. Esse intervalo inclui pontos bem afastados de
(por exemplo
novamente), onde a série diverge. Portanto V também é falsa.
Passo 8
Resumo das verdades/mentiras:
- I é verdadeira (vimos que para
a série vira ). - II é verdadeira (raio
). - III é falsa (convergência absoluta ocorre somente em
, não em ). - IV é falsa (existem pontos em
fora do intervalo de convergência). - V é falsa (existem pontos em
fora do intervalo de convergência).
Portanto somente I e II são corretas.
Resposta
B