Questão 3. Considere
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n^{2}}(x-3)^{n}.
Dentre as afirmações abaixo
I) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)\left(\frac{10}{3}-3\right)^{n} converge.
II) O raio de convergência desta série é \mathrm{R}=1 / 3
III) Esta série é absolutamente convergente para x \in[-8 / 3,3].
IV) Esta série é convergente para x \in[-2,3).
V) Esta série é convergente para x \in(-3,10 / 3].
Qual afirmação é verdadeira?
A Somente I e IV são afirmações corretas.
B Somente I e II são afirmações corretas.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D Somente I e III são afirmações corretas.
E Somente III e IV são afirmações corretas.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{2}}(x-3)^{n}.
Pergunta-se quais das afirmações I)–V) são verdadeiras:
I) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)\left(\frac{10}{3}-3\right)^{n} converge.
II) O raio de convergência desta série é \mathrm{R}=1/3.
III) Esta série é absolutamente convergente para x\in[-8/3,3].
IV) Esta série é convergente para x\in[-2,3).
V) Esta série é convergente para x\in(-3,10/3].
Informações relevantes fornecidas: a série está centrada em x_{0}=3 e os coeficientes são a_{n}=3^{n}/n^{2}. A minha tarefa é verificar cada afirmação e indicar quais são verdadeiras.

Passo 2

Determinar o raio de convergência \mathrm{R}.
Para uma série de potências \sum a_{n}(x-x_{0})^{n} o raio de convergência é dado por
\mathrm{R}=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}.
Aqui a_{n}=3^{n}/n^{2}. Calculo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}:
\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{\frac{3^{n}}{n^{2}}}=3\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}=3\left(n^{2}\right)^{-1/n}.
Uso que \lim_{n\to\infty}\left(n^{2}\right)^{1/n}=\exp\!\big(\lim_{n\to\infty}\tfrac{2\ln n}{n}\big)=\exp(0)=1. Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=3.
Portanto
\mathrm{R}=\frac{1}{3}.
Conclusão: a afirmação II é verdadeira.

Passo 3

Verificar a afirmação I (teste em x=10/3).
Calculo x-3 para x=10/3:
\frac{10}{3}-3=\frac{10-9}{3}=\frac{1}{3}.
Substituindo na série, cada termo fica
\frac{3^{n}}{n^{2}}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Assim a série em x=10/3 é \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, que é convergente (série p com p=2>1). Logo I é verdadeira.

Passo 4

Determinar o conjunto de convergência absoluta (para avaliar III).
Faço a troca y=x-3. A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{2}}y^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3y)^{n}}{n^{2}}.
Para convergência absoluta aplico o teste da raiz: precisa que |3y|<1, isto é |x-3|<1/3. Nos pontos em que |3y|=1 (os endpoints) temos que verificar separadamente:
  • Para x=10/3 (isto é y=1/3) já vimos que a série vira \sum 1/n^{2}, que converge absolutamente.
  • Para x=8/3 (isto é y=-1/3) a série vira \sum (-1)^{n}/n^{2}, cuja série de valores absolutos é \sum 1/n^{2}, também convergente; portanto há convergência absoluta também neste endpoint.
Portanto a série é absolutamente convergente se, e somente se,
|x-3|\le\frac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left[\frac{8}{3},\frac{10}{3}\right].

Passo 5

Concluir sobre a afirmação III.
III afirma que a série é absolutamente convergente para x\in[-8/3,3]. Comparando com o conjunto real de convergência absoluta correto x\in[8/3,10/3], vemos que III está errada: o intervalo dado em III é muito maior e inclui pontos onde |x-3| é muito maior que 1/3. Por exemplo, x=0 pertence a [-8/3,3], mas para x=0 temos y=-3 e os termos são
\frac{3^{n}}{n^{2}}(-3)^{n}=(-1)^{n}\frac{9^{n}}{n^{2}},
cuja magnitude não tende a zero (na verdade cresce), logo a série diverge. Assim III é falsa.

Passo 6

Concluir sobre a afirmação IV.
IV afirma que a série é convergente para todo x\in[-2,3). Isso seria verdade só se todo ponto desse intervalo estivesse dentro do intervalo de convergência da série. Mas já vimos que o intervalo de convergência (onde a série converge, sequer falando de absoluta) está contido em \{x:|x-3|\le 1/3\} (na verdade a convergência pontual só pode ocorrer em [8/3,10/3]); portanto muitos x\in[-2,3) não pertencem ao intervalo de convergência. Por exemplo, x=0\in[-2,3) faz a série divergir (mesmo exemplo do passo anterior). Logo IV é falsa.

Passo 7

Concluir sobre a afirmação V.
V afirma que a série é convergente para todo x\in(-3,10/3]. Esse intervalo inclui pontos bem afastados de 3 (por exemplo x=0 novamente), onde a série diverge. Portanto V também é falsa.

Passo 8

Resumo das verdades/mentiras:
  • I é verdadeira (vimos que para x=10/3 a série vira \sum 1/n^{2}).
  • II é verdadeira (raio \mathrm{R}=1/3).
  • III é falsa (convergência absoluta ocorre somente em [8/3,10/3], não em [-8/3,3]).
  • IV é falsa (existem pontos em [-2,3) fora do intervalo de convergência).
  • V é falsa (existem pontos em (-3,10/3] fora do intervalo de convergência).
Portanto somente I e II são corretas.

Resposta

B

Exercícios relacionados