Calcule os limites no infinito aplicando o resultado lim x pm infty 1x^n=0, n in N.
lim x -infty(2 x+raiz4 x^2-8 x-1)

Passo 1

O enunciado pede calcular limxto-inftyl(2x + raiz4x^2 - 8x -1r). Esse tipo de limite envolve identificar termos dominantes em uma soma com raiz quadrada e usar que 1/x^nto0 quando xtopminfty.

Passo 2

Como xto -infty, podemos escrever
raiz4x^2 - 8x - 1 = |2x|raiz1 - 2x - 14x^2
Como x<0, temos |2x| = -2x. Logo
raiz4x^2 - 8x - 1 = -2xraiz1 - 2x - 14x^2

Passo 3

Substituindo na expressão original:
2x + raiz4x^2 - 8x -1 = 2x - 2xraiz1 - 2x - 14x^2 = -2xl(raiz1 - tfrac2x - tfrac14x^2 - 1r)

Passo 4

Para eliminar a diferença de raiz, multiplicamos e dividimos pelo conjugado:
-2xl(raiz1 - tfrac2x - tfrac14x^2 - 1r) cdot raiz1 - tfrac2x - tfrac14x^2 + 1raiz1 - tfrac2x - tfrac14x^2 + 1 = -2x cdot -tfrac2x - tfrac14x^2raiz1 - tfrac2x - tfrac14x^2 + 1

Passo 5

No numerador temos
-2xl(-tfrac2x - tfrac14x^2r) = 2xl(tfrac2x + tfrac14x^2r) = 4 + tfrac12x

Passo 6

Então a expressão fica
2x + raiz4x^2 - 8x -1 = 4 + tfrac12xraiz1 - tfrac2x - tfrac14x^2 + 1

Passo 7

Ao tomar o limite xto -infty, vemos que 1/(2x)to0 e raiz1 - 2/x - 1/(4x^2)to1. Então o denominador vai a 1+1=2 e o numerador a 4.
Portanto
limxto-inftyl(2x + raiz4x^2 - 8x -1r) = 42 = 2

Resposta

2

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