Questão 8. Considere a função f(x)=sen xx^3-3 x^2+2 x. É correto afirmar que:
a As retas x=1 e x=2 são as únicas assíntotas verticais de f

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a função $ f(x) = \frac{\sin x}{x^{3} - 3x^{2} + 2x} $ e verificar se as retas $ x = 1 $ e $ x = 2 $ são as únicas assíntotas verticais dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e como encontrá-las em uma função racional (que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota vertical. Ela ocorre em valores de $ x $ onde o denominador da função é zero, mas o numerador não é zero. Isso gera uma divisão por zero, indicando que a função tende ao infinito nessas linhas verticais.

Passo 3

Então, vamos encontrar os valores de $ x $ que fazem o denominador ser zero. Nosso denominador é $ x^{3} - 3x^{2} + 2x $. Vamos resolver a equação:
x
Podemos fatorar $ x $:
x^3 - 3x^2 + 2x
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} - 3x + 2 $:
x^3 - 3x^2 + 2x = 0
Então, temos:
x
Isso nos dá as soluções $ x = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Agora, precisamos verificar o numerador da função nesses valores de $ x $. O numerador é $ \sin x $. Vamos analisar cada caso:
  • Para $ x = 0 $:
    x
    Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são zero. Isso indica que pode ser um ponto onde a função não tem uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível (uma “lacuna” na função).
  • Para $ x = 1 $:
    sin x
    O numerador não é zero, mas o denominador é zero. Isso confirma uma assíntota vertical em $ x = 1 $.
  • Para $ x = 2 $:
    x = 0
    Assim como em $ x = 1 $, o numerador não é zero e o denominador é zero, indicando outra assíntota vertical em $ x = 2 $.

Passo 5

Resumindo, encontramos que as únicas assíntotas verticais da função $ f(x) $ estão em $ x = 1 $ e $ x = 2 $. O ponto $ x = 0 $ não gera uma assíntota vertical porque tanto o numerador quanto o denominador são zero nesse ponto, sugerindo apenas uma “lacuna” na função.

Resposta

A opção a) está correta: as retas $ x = 1 $ e $ x = 2 $ são as únicas assíntotas verticais de $ f $.

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