Para os itens abaixo, calcule as integrais triplas.
integral triplae integralz= x y d V, onde E é limitado pelos cilindros parabólicos y=x^2 e x=y^2 e pelos planos z=0

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaE x,y,dV onde o sólido E é limitado pelos cilindros parabólicos y=x^2 e x=y^2, pelo plano z=0 e pelo plano z=xy. O conteúdo principal aqui é integração tripla e projeção da região no plano xy.

Passo 2

Primeiro vamos projetar E no plano xy. A projeção D é dada pelas curvas y=x^2 e x=y^2. Para achar os pontos de interseção, resolvemos:
y = x^2, x = y^2
Substituindo x = y^2 em y = x^2 y = (y^2)^2 = y^4, isto é y^4 - y = 0 com soluções y=0 ou y=1. Como estamos na primeira quadrante, y vai de 0 a 1 e, para cada x entre 0 e 1, temos
0 <= y <= raizx,
mas também y>= x^2, de modo que a ordem conveniente é
0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx

Passo 3

Agora consideramos o elemento de volume na ordem dz,dy,dx. Como z varia de 0 até xy, a integral fica:
$$
\iiint_{E} x,y,dV

\int_{x=0}^{1}
\int_{y=x2}{\sqrt{x}}
\int_{z=0}^{xy}
x,y,dz,dy,dx.
$$

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^xy x,y,dz = x,y,[z]0^xy = x,y,(xy - 0) = x^2 y^2
Substituindo na integral dupla restante:
integral0^1 integralx^2^raizx x^2y^2,dy,dx = integral0^1 x^2 l[ tfracy^33 r]y=x^2^y=raizx dx = tfrac13 integral0^1 x^2 l( (raizx)^3 - (x^2)^3 r) dx

Passo 5

Simplificando os expoentes:
(raizx)^3 = x^3/2, (x^2)^3 = x^6,
então a integral vira:
tfrac13 integral0^1 l(x^7/2 - x^8r) dx = tfrac13l[ tfracx^9/29/2 - tfracx^99 r]0^1 = tfrac13l( tfrac29 - tfrac19 r) = tfrac13 cdot tfrac19 = tfrac127

Resposta

127

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