Para os itens abaixo, calcule as integrais triplas.
, onde
é limitado pelos cilindros parabólicos
e
e pelos planos
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla
onde o sólido
é limitado pelos cilindros parabólicos
e
, pelo plano
e pelo plano
. O conteúdo principal aqui é integração tripla e projeção da região no plano
.
Passo 2
Primeiro vamos projetar
no plano
. A projeção
é dada pelas curvas
e
. Para achar os pontos de interseção, resolvemos:
Substituindo
em
dá
, isto é
com soluções
ou
. Como estamos na primeira quadrante,
vai de 0 a 1 e, para cada
entre 0 e 1, temos
mas também
, de modo que a ordem conveniente é
Passo 3
Agora consideramos o elemento de volume na ordem
. Como
varia de 0 até
, a integral fica:
$$
\iiint_{E} x,y,dV
\int_{x=0}^{1}
\int_{y=x2}{\sqrt{x}}
\int_{z=0}^{xy}
x,y,dz,dy,dx.
\int_{y=x2}{\sqrt{x}}
\int_{z=0}^{xy}
x,y,dz,dy,dx.
$$
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Substituindo na integral dupla restante:
Passo 5
Simplificando os expoentes:
então a integral vira: