Questão 4. Considere a função
. Suponha que
representa a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. Determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e diz que
é a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. O que se pede é o valor
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto de tangência:
. - A altura no ponto é
(ou seja, ). - Precisaremos dos declives (derivadas parciais) de
em relação a e a avaliadas em para escrever a equação do plano tangente.
Passo 2
Definição e fórmula do plano tangente (aula rápida e prática).
- Para uma superfície dada por
e um ponto de tangência com , a equação do plano tangente é a aproximação linear de em torno do ponto. A fórmula é:
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a (interpreta-se como a inclinação da superfície se variarmos só , com fixo) e é a derivada parcial em relação a (inclinação ao variar só ). As variáveis e são as coordenadas genéricas no plano; e são as coordenadas do ponto onde tangenciamos.
Resumo prático: para achar
(o plano tangente) basta calcular
,
e
e substituir na fórmula acima.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou aplicar regras básicas (regra da cadeia e derivadas trigonométricas):
- Começando por
.
Derivada parcial em relação a
:
Usando
e
, e lembrando que
e
, obtemos
Derivada parcial em relação a
:
Agora
e
. Assim
Portanto temos as fórmulas gerais:
Passo 4
Avaliar as derivadas e
no ponto
.
Calculemos primeiro
e
:
Valores trigonométricos úteis:
Agora as derivadas no ponto:
Confirmando
no ponto (dado no enunciado como
, mas vamos checar):
Tudo consistente.
Passo 5
Construir a equação do plano tangente usando a fórmula da Passo 2 e os valores calculados:
Substituindo
,
,
,
,
, obtemos
Fazendo a simplificação algébrica:
Passo 6
Avaliar
no ponto pedido
substituindo na expressão obtida: