Questão 4. Considere a função f(x, y)=\cos (x-y)-2 \sin (x+y). Suponha que z=g(x, y) representa a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (\frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}, 0). Determine g(2, \frac{2}{3}).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\cos(x-y)-2\sin(x+y) e diz que z=g(x,y) é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto \left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4},0\right). O que se pede é o valor g\!\left(2,\dfrac{2}{3}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=\cos(x-y)-2\sin(x+y).
  • O ponto de tangência: \left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4},0\right).
  • A altura no ponto é z_0=0 (ou seja, f\!\left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)=0).
  • Precisaremos dos declives (derivadas parciais) de f em relação a x e a y avaliadas em (x_0,y_0) para escrever a equação do plano tangente.

Passo 2

Definição e fórmula do plano tangente (aula rápida e prática).
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y) e um ponto de tangência (x_0,y_0,z_0) com z_0=f(x_0,y_0), a equação do plano tangente é a aproximação linear de f em torno do ponto. A fórmula é:
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
  • Aqui f_x é a derivada parcial de f em relação a x (interpreta-se como a inclinação da superfície se variarmos só x, com y fixo) e f_y é a derivada parcial em relação a y (inclinação ao variar só y). As variáveis x e y são as coordenadas genéricas no plano; x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto onde tangenciamos.
Resumo prático: para achar g(x,y) (o plano tangente) basta calcular f(x_0,y_0), f_x(x_0,y_0) e f_y(x_0,y_0) e substituir na fórmula acima.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vou aplicar regras básicas (regra da cadeia e derivadas trigonométricas):
  • Começando por f(x,y)=\cos(x-y)-2\sin(x+y).
Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\cos(x-y)-2\frac{\partial}{\partial x}\sin(x+y).
Usando \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u e \dfrac{d}{du}\sin u = \cos u, e lembrando que \dfrac{\partial}{\partial x}(x-y)=1 e \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1, obtemos
f_x(x,y) = -\sin(x-y) - 2\cos(x+y).
Derivada parcial em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\cos(x-y)-2\frac{\partial}{\partial y}\sin(x+y).
Agora \dfrac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1 e \dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1. Assim
f_y(x,y) = -\sin(x-y)\cdot(-1) - 2\cos(x+y) = \sin(x-y) - 2\cos(x+y).
Portanto temos as fórmulas gerais:
f_x(x,y) = -\sin(x-y) - 2\cos(x+y), \qquad f_y(x,y) = \sin(x-y) - 2\cos(x+y).

Passo 4

Avaliar as derivadas e f no ponto \left(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right).
Calculemos primeiro x_0-y_0 e x_0+y_0:
x_0-y_0 = \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}, \qquad x_0+y_0 = \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi.
Valores trigonométricos úteis:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\quad \sin(\pi)=0,\quad \cos(\pi)=-1.
Agora as derivadas no ponto:
f_x\!\left(\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - 2\cos(\pi) = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1.
f_y\!\left(\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - 2\cos(\pi) = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3.
Confirmando f no ponto (dado no enunciado como 0, mas vamos checar):
f\!\left(\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) - 2\sin(\pi) = 0 - 0 = 0.
Tudo consistente.

Passo 5

Construir a equação do plano tangente usando a fórmula da Passo 2 e os valores calculados:
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0).
Substituindo f(x_0,y_0)=0, f_x=1, f_y=3, x_0=\dfrac{3\pi}{4}, y_0=\dfrac{\pi}{4}, obtemos
g(x,y)= (x - \tfrac{3\pi}{4}) + 3\bigl(y - \tfrac{\pi}{4}\bigr).
Fazendo a simplificação algébrica:
g(x,y)= x + 3y - \left(\tfrac{3\pi}{4} + \tfrac{3\pi}{4}\right) = x + 3y - \tfrac{3\pi}{2}.

Passo 6

Avaliar g no ponto pedido \left(2,\dfrac{2}{3}\right) substituindo na expressão obtida:
g\!\left(2,\tfrac{2}{3}\right) = 2 + 3\cdot\frac{2}{3} - \frac{3\pi}{2}.

Resposta

4-\dfrac{3\pi}{2}

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