Questão 3: (5 pontos)
Determine o domínio da função
\frac{4 x+2}{\sqrt{2 x^{2}+4 x-6}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
\frac{4x+2}{\sqrt{2x^{2}+4x-6}}.
Informações e condições que vêm do próprio enunciado:
  • A função é uma fração cujo denominador é \sqrt{2x^{2}+4x-6}.
  • Para que a expressão faça sentido real, o conteúdo da raiz quadrada deve ser definido (não real não interessa aqui).
  • Além disso, o denominador não pode ser zero.
    Não resolvo nada ainda — apenas listei o que a função dá e o que é pedido.

Passo 2

Traduzindo as condições em desigualdades matemáticas:
  • A raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero:
2x^{2}+4x-6 \ge 0.
  • Como esse radicando fica no denominador, é proibido que a raiz seja zero (pois dividir por zero não é permitido). Assim precisamos de
\sqrt{2x^{2}+4x-6}\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+4x-6>0.
Portanto o problema se reduz a resolver a desigualdade quadrática
2x^{2}+4x-6>0.

Passo 3

Método para resolver desigualdade quadrática (passos):
  1. Encontrar as raízes da equação associada 2x^{2}+4x-6=0 — essas raízes dividem a reta em intervalos.
  2. Determinar o sinal do polinômio em cada intervalo (usando fatoração ou um ponto teste).
    Primeiro calculemos as raízes pela fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot 2\cdot(-6)=16+48=64.
As raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm 8}{4}.
Então
x_{1}=\frac{-4-8}{4}=-3,\qquad x_{2}=\frac{-4+8}{4}=1.

Passo 4

Fatoração usando as raízes encontradas: como 2x^{2}+4x-6 tem coeficiente líder 2 e raízes -3 e 1, podemos escrever
2x^{2}+4x-6=2(x+3)(x-1).
Agora estudamos o sinal de 2(x+3)(x-1). O fator 2 é positivo sempre, então o sinal depende apenas de (x+3)(x-1).

Passo 5

Análise de sinais (tabela mental):
  • Para x<-3 (por exemplo x=-4): (x+3)<0 e (x-1)<0 então (x+3)(x-1)>0. Logo o polinômio é positivo.
  • Para -3<x<1 (por exemplo x=0): (x+3)>0 e (x-1)<0 então (x+3)(x-1)<0. Logo o polinômio é negativo.
  • Para x>1 (por exemplo x=2): (x+3)>0 e (x-1)>0 então (x+3)(x-1)>0. Logo o polinômio é positivo.
    Como queremos 2x^{2}+4x-6>0, aceitamos os intervalos onde o polinômio é positivo: x<-3 e x>1. Além disso, devemos excluir as raízes x=-3 e x=1 porque aí o radicando seria zero e o denominador seria zero.

Passo 6

Conclusão interpretativa (dica de prova): a raiz quadrada por si só permitiria 2x^{2}+4x-6\ge 0, mas a presença no denominador força a exclusão dos pontos em que o radicando é zero. Então o domínio é a união dos intervalos onde a quadrática é estritamente positiva.

Resposta

(-\infty,-3)\cup(1,\infty)

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