Questão 3: (5 pontos)
Determine o domínio da função
Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Informações e condições que vêm do próprio enunciado:
- A função é uma fração cujo denominador é
. - Para que a expressão faça sentido real, o conteúdo da raiz quadrada deve ser definido (não real não interessa aqui).
- Além disso, o denominador não pode ser zero.
Não resolvo nada ainda — apenas listei o que a função dá e o que é pedido.
Passo 2
Traduzindo as condições em desigualdades matemáticas:
- A raiz quadrada exige que o radicando seja maior ou igual a zero:
- Como esse radicando fica no denominador, é proibido que a raiz seja zero (pois dividir por zero não é permitido). Assim precisamos de
Portanto o problema se reduz a resolver a desigualdade quadrática
Passo 3
Método para resolver desigualdade quadrática (passos):
- Encontrar as raízes da equação associada
— essas raízes dividem a reta em intervalos. - Determinar o sinal do polinômio em cada intervalo (usando fatoração ou um ponto teste).
Primeiro calculemos as raízes pela fórmula quadrática. O discriminante é
As raízes são
Então
Passo 4
Fatoração usando as raízes encontradas: como
tem coeficiente líder
e raízes
e
, podemos escrever
Agora estudamos o sinal de
. O fator
é positivo sempre, então o sinal depende apenas de
.
Passo 5
Análise de sinais (tabela mental):
- Para
(por exemplo ): e então . Logo o polinômio é positivo. - Para
(por exemplo ): e então . Logo o polinômio é negativo. - Para
(por exemplo ): e então . Logo o polinômio é positivo.
Como queremos, aceitamos os intervalos onde o polinômio é positivo: e . Além disso, devemos excluir as raízes e porque aí o radicando seria zero e o denominador seria zero.
Passo 6
Conclusão interpretativa (dica de prova): a raiz quadrada por si só permitiria
, mas a presença no denominador força a exclusão dos pontos em que o radicando é zero. Então o domínio é a união dos intervalos onde a quadrática é estritamente positiva.