Questāo 2 Considere a função
, definida por
(a) (1,0 ponto) Identifique o domínio
de
:
(b) (1,0 ponto) Encontre a curva de nível de
que contém o ponto
;
(c) (1,0 ponto) Seja
a curva parametrizada pela função vetorial
, definida por
. Mostre que
está contida em uma curva de nivel de
, identificando-a.
(b) (1,0 ponto) Encontre a curva de nível de
(c) (1,0 ponto) Seja
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) o domínio , entendendo que o argumento do
deve ser positivo;
(b) a curva de nível que passa por ;
(c) mostrar que a curva parametrizada por
(a) o domínio
(b) a curva de nível que passa por
(c) mostrar que a curva parametrizada por
está contida numa curva de nível de
, e identificar qual.
Passo 2
Para o domínio precisamos ter
pois
só está definido para argumentos positivos. Logo
Passo 3
No ponto
vale
A curva de nível de valor
é dada por
Passo 4
Na parametrização
temos
Usando a identidade de hiperbólicas,
Logo para todo
vale
, ou seja,
está contida na curva de nível
.
Resposta
(a)
(b) A curva de nível em é
(c) satisfaz
e, portanto, está contida na curva de nível
(onde
).
(b) A curva de nível em
(c)