Questāo 2 Considere a função f: A subset R^2 longrightarrow R, definida por
f(x, y)=ln (x^2-y^2)
((x, y) in A)
(a) (1,0 ponto) Identifique o domínio A de f :
(b) (1,0 ponto) Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P=(1,0);
(c) (1,0 ponto) Seja C a curva parametrizada pela função vetorial alpha: R longrightarrow R^2, definida por
alpha(t)=(e^2+e^-t2, e^t-e^-t2)
(t in R). Mostre que C está contida em uma curva de nivel de f, identificando-a.

Passo 1

O enunciado define
fcolon AsubsetR^2toR, f(x,y)=lnl(x^2-y^2r),
e pede:
(a) o domínio A, entendendo que o argumento do ln deve ser positivo;
(b) a curva de nível que passa por P=(1,0);
(c) mostrar que a curva parametrizada por
alpha(t)=l(tfrace^t+e^-t2,,tfrace^t-e^-t2r)
está contida numa curva de nível de f, e identificar qual.

Passo 2

Para o domínio precisamos ter
x^2-y^2>0
pois ln só está definido para argumentos positivos. Logo
A=l(x,y)inR^2mid x^2-y^2>0r

Passo 3

No ponto P=(1,0) vale
f(1,0)=lnl(1^2-0^2r)=ln(1)=0
A curva de nível de valor 0 é dada por
lnl(x^2-y^2r)=0 Longrightarrow x^2-y^2=1

Passo 4

Na parametrização alpha(t)=(x(t),y(t)) temos
x(t)=tfrace^t+e^-t2, y(t)=tfrace^t-e^-t2
Usando a identidade de hiperbólicas,
x(t)^2-y(t)^2 =l(tfrace^t+e^-t2r)^2 -l(tfrace^t-e^-t2r)^2 =1
Logo para todo t vale fl(alpha(t)r)=ln(1)=0, ou seja, C está contida na curva de nível x^2-y^2=1.

Resposta

(a) A=(x,y)inR^2mid x^2-y^2>0
(b) A curva de nível em P é x^2-y^2=1
(c) C satisfaz x^2-y^2=1 e, portanto, está contida na curva de nível x^2-y^2=1 (onde f=0).

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