Questão. Considere a função
. Decida se
é derivável em
e, em caso afirmativo, calcule
. Justifique suas afirmações.
“solução” 1.
, pois
.
“solução” 2. Como a função
não é derivável em
, não é possível usar a regra do produto para derivar
em
. Logo
não é derivável em
.
“solução” 3. Temos
, onde
e
. Assim:
como
e
então
.
“solução” 4. Temos
. Logo
. Portanto
, ou seja
.
“solução” 1.
“solução” 2. Como a função
“solução” 3. Temos
“solução” 4. Temos
Passo 1
O enunciado pede para estudar a derivabilidade de
em
e, se existir, calcular
. O conteúdo aqui é a definição de derivada pelo quociente incremental e a noção de limites laterais. Vamos usar diretamente
e verificar os limites pela direita e pela esquerda.
Passo 2
Para facilitar o cálculo, escrevemos
Note também que (f(0)=0].
Passo 3
Cálculo do limite pela direita:
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda:
Passo 5
Como ambos os limites laterais existem e são iguais a
, o limite
existe e vale
. Logo
é derivável em
e o valor da derivada é
.
Resposta
A função
é derivável em
e