Questão. Considere a função f(x)=x|x|. Decida se f é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, calcule f^prime(0). Justifique suas afirmações.
“solução” 1. f^prime(0)=0, pois f(0)=0.
“solução” 2. Como a função g(x)=|x| não é derivável em x=0, não é possível usar a regra do produto para derivar f em x=0. Logo f não é derivável em x=0.
“solução” 3. Temos f(x)=h(x) g(x), onde h(x)=x e g(x)=|x|. Assim:
f^prime(0)=h^prime(0) g(0)+h(0) g^prime(0) ;
como g(0)=0 e h(0)=0 então f^prime(0)=0.
“solução” 4. Temos f(x)=-x^2 & , se x<0 x^2 & , se x >= 0. Logo lim x 0^+ f(x)-f(0)x-0 lim x 0^+ x^2-0x-0=lim x 0^+ x=0 e lim x 0^- f(x)-f(0)x-0=lim x 0^- -x^2-0x-0=lim x 0^--x=0. Portanto lim x 0 f(x)-f(0)x-0=0, ou seja f^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a derivabilidade de f(x)=x|x| em x=0 e, se existir, calcular f'(0). O conteúdo aqui é a definição de derivada pelo quociente incremental e a noção de limites laterais. Vamos usar diretamente
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0
e verificar os limites pela direita e pela esquerda.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, escrevemos
Note também que (f(0)=0].

Passo 3

Cálculo do limite pela direita:
limxto0^+f(x)-f(0)x-0 =limxto0^+x^2-0x =limxto0^+x =0

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda:
limxto0^-f(x)-f(0)x-0 =limxto0^--x^2-0x =limxto0^-(-x) =0

Passo 5

Como ambos os limites laterais existem e são iguais a 0, o limite
limxto0f(x)-f(0)x-0
existe e vale 0. Logo f é derivável em 0 e o valor da derivada é 0.

Resposta

A função f(x)=x|x| é derivável em x=0 e
f'(0)=0

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