Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em R^2.
f(x, y)=3 x y^2+4 x^2 y+2 x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=3xy^2+4x^2y+2xy
é diferenciável em R^2. Como f é um polinômio em x e y, vamos usar o critério de que se as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o domínio, então f é diferenciável em todo esse domínio.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
Para partial fpartial x:
partial fpartial x =partialpartial xl(3xy^2+4x^2y+2xyr) =3y^2+8xy+2y
Para partial fpartial y:
partial fpartial y =partialpartial yl(3xy^2+4x^2y+2xyr) =6xy+4x^2+2x

Passo 3

Observamos que
partial fpartial x(x,y)=3y^2+8xy+2y e partial fpartial y(x,y)=6xy+4x^2+2x
são funções polinomiais em (x,y) e, portanto, contínuas em todo R^2. Pelo teorema que garante a diferenciabilidade sempre que as derivadas parciais existem e são contínuas, concluímos que f é diferenciável em cada ponto de R^2.

Resposta

A função f(x,y)=3xy^2+4x^2y+2xy é diferenciável em R^2.

Exercícios relacionados