Calcular o valor das integrais definidas
Calcule as integrais:
integral1^e^pi / 2 sen(ln x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^e^pi/2sin(ln x)x,dx
Aqui o conteúdo é integração por substituição, pois vemos ln x dentro de uma função trigonométrica e o fator 1/x que sugere d(ln x)=dx/x.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = ln x Longrightarrow dt = dxx
Quando x=1, t=0. Quando x=e^pi/2, t=pi/2. Assim a integral fica
integral1^e^pi/2sin(ln x)x,dx =integral0^pi/2sin t,dt

Passo 3

Calculamos a integral de sin t no intervalo de 0 a pi/2:
integral0^pi/2sin t,dt =l[-cos tr]0^pi/2 =(-cos(tfracpi2))-(-cos(0)) =0-(-1) =1

Resposta

1

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