Questão 4: (1,0) Determine a equação da reta tangente (quando existe) à curva de intersecção do gráfico da função z=f(x, y) com o plano y=y_{0} no ponto em que x=x_{0}.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície e uma interseção com um plano. Mais precisamente:
Temos a função z=f(x,y) e o seu gráfico no espaço.
Consideramos o plano vertical y=y_{0} (onde \,y_{0}\, é um valor fixo).
A interseção do gráfico com esse plano é uma curva no espaço dada por todos os pontos (x,y_{0},f(x,y_{0})) quando x varia.
Queremos a equação da reta tangente a essa curva no ponto em que x=x_{0}. O ponto de tangência na superfície é (x_{0},\,y_{0},\,f(x_{0},y_{0})).
O enunciado pede a reta tangente “quando existe”, ou seja, devemos identificar a condição necessária para que essa reta exista.
Passo 2
Vamos representar a curva de interseção de forma paramétrica, escolhendo x como parâmetro (isso é natural porque o plano mantém y constante). Definimos a curva por
\mathbf{r}(x)=\bigl(x,\;y_{0},\;f(x,y_{0})\bigr).
Explicando: a primeira coordenada é x (varia), a segunda é sempre y_{0} (fixa pelo plano), e a terceira é a altura dada por f(x,y_{0}).
Passo 3
Para achar a reta tangente num ponto paramétrico usamos a derivada da curva no ponto. A derivada vetor é
Agora explico a peça chave: \tfrac{d}{dx}f(x,y_{0}) é a derivada da função univariada g(x)=f(x,y_{0}). Essa derivada, quando existe, é justamente a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (x,y_{0}). Ou seja,
desde que essa derivada parcial exista. Intuitivamente, \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) mede a taxa de variação de z quando mudamos x um pouco e mantemos y fixo em y_{0}.
Passo 4
A direção da reta tangente no ponto x=x_{0} é o vetor \mathbf{r}'(x_{0}). Portanto
onde t é o parâmetro. Escrevendo coordenada a coordenada obtemos a forma paramétrica
\begin{cases} x = x_{0}+t,\\[4pt] y = y_{0},\\[4pt] z = f(x_{0},y_{0}) + t\,\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}). \end{cases}]
Passo 5
Podemos eliminar o parâmetro t usando t=x-x_{0}. Assim uma forma conveniente (e muito usada em provas) da equação da reta tangente é
y=y_{0},\qquad z = f(x_{0},y_{0}) + (x-x_{0})\,\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}).
Condição de existência: essa reta existe sempre que a derivada univariada \dfrac{d}{dx}f(x,y_{0}) em x=x_{0} existir, o que é garantido se a parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) existir (ou se f for diferenciável na direção x nesse ponto). Se essa parcial não existe, a curva pode não ser diferenciável em x_{0} e então não há reta tangente bem definida por esse método.
Passo 6
Vamos a um exemplo rápido para fixar (coisa que serve na prova): seja f(x,y)=x^{2}+y\), escolha \(y_{0}=2\) e \(x_{0}=1\). Calculamos \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\), então em \((1,2)\) temos \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\) e \(f(1,2)=1^{2}+2=3\). A reta tangente é
\[\begin{cases} x=1+t,\\[4pt] y=2,\\[4pt] z=3+2t, \end{cases}
ou eliminando t\]: \(y=2 e z=3+2(x-1)=2x+1. Isso mostra como aplicar a fórmula de forma prática na prova.]