Questão 3:
Seja
.
a) Determine
e
.
b) Verifique que
.
a) Determine
b) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
-
Calcular as derivadas parciais
, , , e . -
Verificar a identidade
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é soma de termos do tipo
para . - Cada
depende apenas de e . - Não há outras condições (pressupomos
sempre que necessário para as frações).
Passo 2
Conceito útil: derivada parcial.
Quando calculamos , tratamos todas as variáveis diferentes de
como constantes e derivamos em relação a
como se fosse uma função de uma variável só.
Quando calculamos
Regras de derivação que usaremos (explicadas de forma direta):
- Se temos um termo
com constante (aqui pode ser se o derivamos em relação a ), então Porque é linear em . - Se temos um termo
com constante (aqui pode ser ), escrevemos e usamos a regra da potência: Ou seja, .
Essas duas observações bastam aqui, porque cada termo
envolve no máximo duas variáveis vizinhas.
Passo 3
Calcular
.
Quais termos de
dependem de
? Apenas o primeiro termo
. Nesse termo
é tratado como constante quando derivamos em relação a
. Assim, aplicando a regra linear:
Logo
Passo 4
Calcular
para um índice interno
com
(isso cobre
).
Quais termos de
dependem de
? Dois termos:
-
, que depende de na posição do denominador; -
, que depende de na posição do numerador.
Derivando cada um, tratando as outras variáveis como constantes:
-
Para
, com constante, -
Para
, com constante,
Somando as contribuições (derivada da soma é soma das derivadas):
Passo 5
Calcular
.
Quais termos dependem de
? Apenas o último termo
. Derivando com
constante:
Portanto
Passo 6
Reescrevendo explicitamente as derivadas pedidas (para ficar claro):
Passo 7
Verificar que
.
Substituímos as expressões das derivadas parciais na soma:
Simplificamos cada termo
multiplicando dentro da soma:
Agora observamos que a soma é telescópica: listar os termos dá
Cada fração
aparece com sinal positivo e negativo em posições que se cancelam. Formalmente, separamos as somas:
A diferença dessas duas somas é
Voltando à expressão original:
Portanto a identidade está verificada.