Questão 3: (1,0) Seja f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_{n}}.
a) Determine \frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{3}}, \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} e \frac{\partial f}{\partial x_{n}}.
b) Verifique que \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_{n}},
e pede duas coisas:
  1. Calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{3}}, \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} e \frac{\partial f}{\partial x_{n}}.
  2. Verificar a identidade
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é soma de termos do tipo \dfrac{x_{k}}{x_{k+1}} para k=1,\dots,n-1.
  • Cada \dfrac{x_{k}}{x_{k+1}} depende apenas de x_{k} e x_{k+1}.
  • Não há outras condições (pressupomos x_i\neq0 sempre que necessário para as frações).

Passo 2

Conceito útil: derivada parcial.
Quando calculamos \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}, tratamos todas as variáveis diferentes de x_{i} como constantes e derivamos em relação a x_{i} como se fosse uma função de uma variável só.
Regras de derivação que usaremos (explicadas de forma direta):
  • Se temos um termo \dfrac{x_i}{a} com a constante (aqui a pode ser x_{i+1} se o derivamos em relação a x_i), então \frac{d}{dx_i}\left(\frac{x_i}{a}\right)=\frac{1}{a}.Porque é linear em x_i.
  • Se temos um termo \dfrac{b}{x_i} com b constante (aqui b pode ser x_{i-1}), escrevemos \dfrac{b}{x_i}=b\cdot x_i^{-1} e usamos a regra da potência: \frac{d}{dx_i}\left(b\,x_i^{-1}\right)=b\cdot(-1)\,x_i^{-2}=-\frac{b}{x_i^{2}}.Ou seja, \dfrac{d}{dx_i}\left(\dfrac{b}{x_i}\right)=-\dfrac{b}{x_i^{2}}.
Essas duas observações bastam aqui, porque cada termo \dfrac{x_{k}}{x_{k+1}} envolve no máximo duas variáveis vizinhas.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}.
Quais termos de f dependem de x_{1}? Apenas o primeiro termo \dfrac{x_{1}}{x_{2}}. Nesse termo x_{2} é tratado como constante quando derivamos em relação a x_{1}. Assim, aplicando a regra linear:
\frac{\partial}{\partial x_{1}}\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)=\frac{1}{x_{2}}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=\frac{1}{x_{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} para um índice interno i com 2\le i\le n-1 (isso cobre \frac{\partial f}{\partial x_{2}},\frac{\partial f}{\partial x_{3}},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}).
Quais termos de f dependem de x_{i}? Dois termos:
  • \dfrac{x_{i-1}}{x_{i}}, que depende de x_{i} na posição do denominador;
  • \dfrac{x_{i}}{x_{i+1}}, que depende de x_{i} na posição do numerador.
Derivando cada um, tratando as outras variáveis como constantes:
  1. Para \dfrac{x_{i-1}}{x_{i}}=x_{i-1}\,x_{i}^{-1}, com x_{i-1} constante,
    \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\frac{x_{i-1}}{x_{i}}\right)=-\frac{x_{i-1}}{x_{i}^{2}}.
  2. Para \dfrac{x_{i}}{x_{i+1}}, com x_{i+1} constante,
    \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\frac{x_{i}}{x_{i+1}}\right)=\frac{1}{x_{i+1}}.
Somando as contribuições (derivada da soma é soma das derivadas):
\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=-\frac{x_{i-1}}{x_{i}^{2}}+\frac{1}{x_{i+1}},\qquad 2\le i\le n-1.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}}.
Quais termos dependem de x_{n}? Apenas o último termo \dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}. Derivando com x_{n-1} constante:
\frac{\partial}{\partial x_{n}}\left(\frac{x_{n-1}}{x_{n}}\right)=-\frac{x_{n-1}}{x_{n}^{2}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=-\frac{x_{n-1}}{x_{n}^{2}}.

Passo 6

Reescrevendo explicitamente as derivadas pedidas (para ficar claro):
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=\frac{1}{x_{2}},
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}=-\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}},
\frac{\partial f}{\partial x_{3}}=-\frac{x_{2}}{x_{3}^{2}}+\frac{1}{x_{4}},
\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}=-\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}^{2}}+\frac{1}{x_{n}},
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}=-\frac{x_{n-1}}{x_{n}^{2}}.

Passo 7

Verificar que \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0.
Substituímos as expressões das derivadas parciais na soma:
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}} = x_{1}\cdot\frac{1}{x_{2}} +\sum_{i=2}^{n-1} x_{i}\!\left(-\frac{x_{i-1}}{x_{i}^{2}}+\frac{1}{x_{i+1}}\right) + x_{n}\left(-\frac{x_{n-1}}{x_{n}^{2}}\right).
Simplificamos cada termo x_{i} multiplicando dentro da soma:
= \frac{x_{1}}{x_{2}} +\sum_{i=2}^{n-1}\left(-\frac{x_{i-1}}{x_{i}}+\frac{x_{i}}{x_{i+1}}\right) - \frac{x_{n-1}}{x_{n}}.
Agora observamos que a soma é telescópica: listar os termos dá
\frac{x_{1}}{x_{2}} -\frac{x_{1}}{x_{2}}-\frac{x_{2}}{x_{3}}-\cdots-\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}} +\frac{x_{2}}{x_{3}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_{n}} -\frac{x_{n-1}}{x_{n}}.
Cada fração \dfrac{x_{k}}{x_{k+1}} aparece com sinal positivo e negativo em posições que se cancelam. Formalmente, separamos as somas:
\sum_{i=2}^{n-1}\left(-\frac{x_{i-1}}{x_{i}}+\frac{x_{i}}{x_{i+1}}\right) = -\sum_{j=1}^{n-2}\frac{x_{j}}{x_{j+1}}+\sum_{j=2}^{n-1}\frac{x_{j}}{x_{j+1}}.
A diferença dessas duas somas é
\left(-\sum_{j=1}^{n-2}\frac{x_{j}}{x_{j+1}}+\sum_{j=2}^{n-1}\frac{x_{j}}{x_{j+1}}\right) = \frac{x_{n-1}}{x_{n}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}.
Voltando à expressão original:
\sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} +\left(\frac{x_{n-1}}{x_{n}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}\right) - \frac{x_{n-1}}{x_{n}} = 0.
Portanto a identidade está verificada.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}=\frac{1}{x_{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{2}}=-\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{3}}=-\frac{x_{2}}{x_{3}^{2}}+\frac{1}{x_{4}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}=-\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}^{2}}+\frac{1}{x_{n}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{n}}=-\frac{x_{n-1}}{x_{n}^{2}}
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0

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