Questão 6. (1 pt) Considere funções diferenciáveis f: R R e g: R R tais que
|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 hline$f(x)$ & 3 & 1 & 2 & 3 & -1 hline$f^prime(x)$ & 1 & 2 & 1 & -1 & -3 hline -1 0 1 2 3
|c|c|c|c|c|c| hline$x$ & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 hline$g(x)$ & 1 & 3 & -1 & 2 & 2 hline$g^prime(x)$ & -1 & 2 & 1 & 3 & -1 hline 3 1 2 3 -1
f(g(x)) 1 2 1 -1 -3
x=-1 -1 0 1 2 3
-2 1 3 -1 2 2
-1 -1 2 1 3 -1
O valor da derivada de em é:
1 2 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre derivadas de funções compostas. A gente tem duas funções diferenciáveis, $ f $ e $ g $, e queremos encontrar a derivada de $ f(g(x)) $ no ponto $ x = -1 $. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental no cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra da cadeia. Se temos $ h(x) = f(g(x)) $, então a derivada de $ h $ em relação a $ x $ é:
h(x) = f(g(x))
Ou seja, a derivada de $ f $ avaliada em $ g(x) $ multiplicada pela derivada de $ g $ em $ x $.

Passo 3

Vamos encontrar $ g(-1) $ usando a tabela fornecida. Olhando na tabela de $ g(x) $:
g(-1)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ f’(g(-1)) $, que é $ f’(1) $. Olhando na tabela de $ f’(x) $:
f'(g(-1))

Passo 5

Também precisamos da derivada de $ g $ em $ x = -1 $, ou seja, $ g’(-1) $. Consultando a tabela de $ g’(x) $:
g

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia:
h'(-1) = f'(g(-1)) cdot g'(-1) = 1 cdot (-1) = -1

Resposta

O valor da derivada de $ f(g(x)) $ em $ x = -1 $ é f(g(x)) .

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