Questão 3 Seja f: \mathbb{R}_{+}^{3} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y, z)=\ln (x+y+z) (o símbolo \mathbb{R}_{+}^{3} denota os pontos de \mathbb{R}^{3} onde as três coordenadas são positivas, i.e, o primeiro octante.), considere o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}_{+}^{3} \rightarrow \mathbb{R} dado por \vec{F}=\vec{\nabla} f. Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta que liga o ponto (2,3,5) até o ponto (7,9,11).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=\ln(x+y+z)
em \mathbb{R}_{+}^{3} e o campo vetorial
\vec{F}=\nabla f. Pede-se a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta de A=(2,3,5) até B=(7,9,11). Como \vec{F} é gradiente de f, trata-se de um campo conservativo, e podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Para isso, note que
\frac{\partial}{\partial x}\ln(x+y+z) =\frac{1}{x+y+z}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\ln(x+y+z) =\frac{1}{x+y+z}, \quad \frac{\partial}{\partial z}\ln(x+y+z) =\frac{1}{x+y+z}.
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\vec{F}(x,y,z) =\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{1}{x+y+z},\,\tfrac{1}{x+y+z},\,\tfrac{1}{x+y+z}\Bigr).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, a integral de linha de A até B é
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r} =f(B)-f(A).

Passo 4

Calculamos
f(B)=\ln(7+9+11)=\ln(27), \qquad f(A)=\ln(2+3+5)=\ln(10).
Portanto
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\ln(27)-\ln(10) =\ln\frac{27}{10}.

Resposta

\displaystyle \ln\frac{27}{10}

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