Questão 4
Considere um gás ideal de
moléculas em equilíbrio, encerrado num volume
:
(a) Qual a probabilidade
de uma molécula do gás se encontrar num dado subvolume
de
?
(b) Designando por
o número de moléculas no volume
, calcule o valor médio de
em função de
e
.
(a) Qual a probabilidade
(b) Designando por
Passo 1
O enunciado nos dá um gás ideal com
moléculas uniformemente distribuídas em um volume
. Pergunta (a) pede a probabilidade de uma molécula estar num subvolume
e (b) pede o valor médio do número
de moléculas em
. Vamos usar o modelo de variáveis de Bernoulli independentes e a distribuição binomial, além da propriedade da linearidade da esperança.
Passo 2
Como o gás está em equilíbrio e as moléculas não interagem, cada molécula tem probabilidade uniforme de ocupar qualquer ponto de
. A fração do espaço ocupada por
é
Portanto, a probabilidade de uma molécula escolhida ao acaso estar dentro de
é
Passo 3
Definimos para cada molécula
está em
},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
Cada
é uma Bernoulli de parâmetro
. O número total de moléculas em
é
Passo 4
Usando a linearidade da esperança, temos
Substituindo
, vem
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)