Questão 4

Considere um gás ideal de N_{0} moléculas em equilíbrio, encerrado num volume V_{0} :
(a) Qual a probabilidade p de uma molécula do gás se encontrar num dado subvolume V de V_{0} ?
(b) Designando por N o número de moléculas no volume V, calcule o valor médio de N em função de N_{0}, V_{0} e V.

Passo 1

O enunciado nos dá um gás ideal com N_{0} moléculas uniformemente distribuídas em um volume V_{0}. Pergunta (a) pede a probabilidade de uma molécula estar num subvolume V\subset V_{0} e (b) pede o valor médio do número N de moléculas em V. Vamos usar o modelo de variáveis de Bernoulli independentes e a distribuição binomial, além da propriedade da linearidade da esperança.

Passo 2

Como o gás está em equilíbrio e as moléculas não interagem, cada molécula tem probabilidade uniforme de ocupar qualquer ponto de V_{0}. A fração do espaço ocupada por V é
\frac{V}{V_{0}}
Portanto, a probabilidade de uma molécula escolhida ao acaso estar dentro de V é
p = \frac{V}{V_{0}}.

Passo 3

Definimos para cada molécula i=1,2,\dots,N_{0}\) a variável indicadora \[X_{i} = \begin{cases} 1, & \text{se a molécula \(i está em V},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
Cada X_{i} é uma Bernoulli de parâmetro p. O número total de moléculas em V é
N = \sum_{i=1}^{N_{0}} X_{i}.

Passo 4

Usando a linearidade da esperança, temos
\mathbb{E}[N] = \mathbb{E}\Bigl[\sum_{i=1}^{N_{0}}X_{i}\Bigr] = \sum_{i=1}^{N_{0}}\mathbb{E}[X_{i}] = \sum_{i=1}^{N_{0}}p = N_{0}\,p.
Substituindo p=\tfrac{V}{V_{0}}, vem
\mathbb{E}[N] = N_{0}\,\frac{V}{V_{0}}.

Resposta

(a) p = \dfrac{V}{V_{0}}.
(b) \mathbb{E}[N] = N_{0}\,\dfrac{V}{V_{0}}.

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