Questão 3

A variável aleatória x é sorteada ao acaso com probabilidade dada por
\rho(x)=A e^{-\frac{k}{2 D} x^{2}}
onde k, D e A são constantes positivas.
(a) Obtenha a constante de normalização da densidade de probabilidade, sabendo que -\infty<x<\infty.
(b) Determine o valor médio da variável x.
(c) Determine a variância.

Passo 1

O enunciado nos dá uma densidade de probabilidade
\rho(x)=A\,e^{-\frac{k}{2D}x^{2}}\,,\qquad x\in(-\infty,\infty)\,,
com k>0, D>0 e A a constante de normalização. Precisamos encontrar (a) A de modo que \int_{-\infty}^{\infty}\rho(x)\,dx=1, (b) o valor médio \langle x\rangle e (c) a variância \mathrm{Var}(x). Vamos usar integrais gaussianas e simetria da função.

Passo 2

Para achar A, imponho
1=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}A\,e^{-\frac{k}{2D}x^{2}}\,dx =A\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}\,dx
onde definimos \alpha=\frac{k}{2D}. A integral gaussiana é
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\,.
Logo
1=A\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} =\sqrt{\frac{k}{2D\pi}}\,.

Passo 3

O valor médio é
\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}x\,\rho(x)\,dx =A\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-\alpha x^{2}}\,dx\,.
Como x\,e^{-\alpha x^{2}} é função ímpar e o intervalo é simétrico, essa integral vale zero. Portanto
\langle x\rangle=0\,.

Passo 4

A variância satisfaz
\mathrm{Var}(x)=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2} =\langle x^{2}\rangle
pois \langle x\rangle=0. Calculamos
\langle x^{2}\rangle =A\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}\,dx
e usamos a fórmula
\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}e^{-\alpha x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}\,.
Assim
\langle x^{2}\rangle =A\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} =\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\;\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} =\frac{1}{2\alpha} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2D}{k} =\frac{D}{k}\,.
Logo
\mathrm{Var}(x)=\frac{D}{k}\,.

Resposta

A constante de normalização é
A=\sqrt{\frac{k}{2D\pi}}\,.
O valor médio é \langle x\rangle=0.
A variância é \mathrm{Var}(x)=\frac{D}{k}.

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