Questão 3
A variável aleatória
é sorteada ao acaso com probabilidade dada por
onde
e
são constantes positivas.
(a) Obtenha a constante de normalização da densidade de probabilidade, sabendo que
.
(b) Determine o valor médio da variável
.
(c) Determine a variância.
(a) Obtenha a constante de normalização da densidade de probabilidade, sabendo que
(b) Determine o valor médio da variável
(c) Determine a variância.
Passo 1
O enunciado nos dá uma densidade de probabilidade
com
,
e
a constante de normalização. Precisamos encontrar (a)
de modo que
, (b) o valor médio
e (c) a variância
. Vamos usar integrais gaussianas e simetria da função.
Passo 2
Para achar
, imponho
onde definimos
. A integral gaussiana é
Logo
Passo 3
O valor médio é
Como
é função ímpar e o intervalo é simétrico, essa integral vale zero. Portanto
Passo 4
A variância satisfaz
pois
. Calculamos
e usamos a fórmula
Assim
Logo
Resposta
A constante de normalização é
O valor médio é
.
A variância é .
A variância é