Questão 1
Seja
uma variável aleatória discreta cujo espaço amostral é dado por
onde
,
. Seja
a probabilidade associada ao valor
e considere que foram realizadas
medições de
.
(a) Demonstre que o desvio médio (primeiro momento central) é nulo.
(b) Demonstre que o desvio padrão é dado pela expressão:
Obs: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
(c) Obtenha uma expressão para o terceiro momento central da distribuição de probabilidades. Siga o mesmo procedimento adotado nos itens anteriores.
(a) Demonstre que o desvio médio (primeiro momento central) é nulo.
(b) Demonstre que o desvio padrão é dado pela expressão:
(c) Obtenha uma expressão para o terceiro momento central da distribuição de probabilidades. Siga o mesmo procedimento adotado nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado trata de uma variável aleatória discreta
que assume valores
com probabilidade
,
. Precisamos usar o conceito de momento de uma distribuição de probabilidade, em especial:
– o primeiro momento central (desvio médio)
– o segundo momento central (variância) e, daí, o desvio padrão
– o terceiro momento central
– o primeiro momento central (desvio médio)
– o segundo momento central (variância) e, daí, o desvio padrão
– o terceiro momento central
Passo 2
Definimos a média (primeiro momento) como
O desvio médio é o primeiro momento central, isto é
Como
, obtemos
Passo 3
A variância é o segundo momento central,
. Expandindo,
Como
, isso vira
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo
Passo 4
O terceiro momento central é
. Expandindo o cubo:
Aplicando o operador de esperança:
Como
, tem-se
Resposta
(a) O desvio médio é
(b) O desvio padrão é
(c) O terceiro momento central é