Questão 1

Seja x uma variável aleatória discreta cujo espaço amostral é dado por \mathrm{A}=\left\{\varepsilon_{j}\right\} onde j=1, \ldots, M. Seja p_{j} a probabilidade associada ao valor \varepsilon_{j} e considere que foram realizadas N>M medições de x.
(a) Demonstre que o desvio médio (primeiro momento central) é nulo.
(b) Demonstre que o desvio padrão é dado pela expressão:
\sigma=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}}
Obs: O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
(c) Obtenha uma expressão para o terceiro momento central da distribuição de probabilidades. Siga o mesmo procedimento adotado nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória discreta x que assume valores \varepsilon_{j} com probabilidade p_{j}, j=1,\dots,M. Precisamos usar o conceito de momento de uma distribuição de probabilidade, em especial:
– o primeiro momento central (desvio médio)
– o segundo momento central (variância) e, daí, o desvio padrão \sigma
– o terceiro momento central

Passo 2

Definimos a média (primeiro momento) como
\mu = \langle x\rangle = \sum_{j=1}^{M} p_{j}\,\varepsilon_{j}.
O desvio médio é o primeiro momento central, isto é
\langle x - \mu\rangle = \sum_{j=1}^{M}p_{j}\,(\varepsilon_{j}-\mu).
Como \sum_{j=1}^{M}p_{j}=1, obtemos
\langle x - \mu\rangle =\sum_{j}p_{j}\,\varepsilon_{j} -\mu\sum_{j}p_{j} =\mu - \mu =0.

Passo 3

A variância é o segundo momento central, \langle(x-\mu)^{2}\rangle. Expandindo,
\langle(x-\mu)^{2}\rangle =\langle x^{2} - 2\mu x + \mu^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle -2\mu\langle x\rangle + \mu^{2}.
Como \langle x\rangle=\mu, isso vira
\langle(x-\mu)^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle -2\mu^{2} + \mu^{2} =\langle x^{2}\rangle - \mu^{2}.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo
\sigma = \sqrt{\langle(x-\mu)^{2}\rangle} =\sqrt{\langle x^{2}\rangle - \langle x\rangle^{2}}.

Passo 4

O terceiro momento central é \langle(x-\mu)^{3}\rangle. Expandindo o cubo:
(x-\mu)^{3} = x^{3} - 3\mu x^{2} + 3\mu^{2}x - \mu^{3}.
Aplicando o operador de esperança:
\langle(x-\mu)^{3}\rangle =\langle x^{3}\rangle -3\mu\,\langle x^{2}\rangle +3\mu^{2}\,\langle x\rangle -\mu^{3}.
Como \langle x\rangle=\mu, tem-se
\langle(x-\mu)^{3}\rangle =\langle x^{3}\rangle -3\mu\,\langle x^{2}\rangle +3\mu^{3} -\mu^{3} =\langle x^{3}\rangle -3\langle x\rangle\,\langle x^{2}\rangle +2\langle x\rangle^{3}.

Resposta

(a) O desvio médio é
\langle x - \langle x\rangle\rangle = 0.
(b) O desvio padrão é
\sigma = \sqrt{\langle x^{2}\rangle - \langle x\rangle^{2}}.
(c) O terceiro momento central é
\langle(x-\langle x\rangle)^{3}\rangle =\langle x^{3}\rangle -3\langle x\rangle\,\langle x^{2}\rangle +2\langle x\rangle^{3}.

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