Questão 1 Considere a integral dupla
\iint_{D} \operatorname{sen}\left(y^{2}\right) d A
onde D \subset \mathbb{R}^{2} é a região limitada pelas retas y=1, x=0 e y=x. Faça o que se pede.
(a) Esboce a região de integração.
(b) Escreva as duas ordens de integração possíveis.
(c) Escolha uma ordem de integração do item (b) e calcule a integral. Dê uma interpretação para este número.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dA
onde D\subset\mathbb{R}^{2} é a região limitada pelas retas y=1, x=0 e y=x.
Conteúdo: integração iterada em duas variáveis, mudança de ordem de integração e aplicação de substituição para calcular integrais de uma variável.

Passo 2

Descrevemos geometricamente D. A reta x=0 é o eixo y, a reta y=1 é uma linha horizontal e y=x é a bissetriz do primeiro quadrante. Essas três curvas formam um triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (1,1). Assim
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le1\}.

Passo 3

As duas ordens de integração são
Ordem dx\,dy:
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Ordem dy\,dx:
\int_{x=0}^{1}\int_{y=x}^{1}\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Escolhendo a ordem dx\,dy, primeiro integramos em x:
\int_{x=0}^{y}\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dx =\bigl[x\;\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\bigr]_{0}^{y} =y\,\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr).
Restará
\int_{y=0}^{1}y\,\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.
Fazemos a substituição u=y^{2}, logo du=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac12\,du. Os limites em u vão de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1}y\,\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dy =\frac12\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(u)\,du =-\frac12\bigl[\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac12\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\iint_{D}\operatorname{sen}\bigl(y^{2}\bigr)\,dA =\frac12\bigl(1-\cos(1)\bigr).
Interpretação: esse valor é o volume sob a superfície z=\operatorname{sen}(y^{2}) sobre a região triangular D.

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