Questão 1 Considere a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e
. Faça o que se pede.
(a) Esboce a região de integração.
(b) Escreva as duas ordens de integração possíveis.
(c) Escolha uma ordem de integração do item (b) e calcule a integral. Dê uma interpretação para este número.
(a) Esboce a região de integração.
(b) Escreva as duas ordens de integração possíveis.
(c) Escolha uma ordem de integração do item (b) e calcule a integral. Dê uma interpretação para este número.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Conteúdo: integração iterada em duas variáveis, mudança de ordem de integração e aplicação de substituição para calcular integrais de uma variável.
Conteúdo: integração iterada em duas variáveis, mudança de ordem de integração e aplicação de substituição para calcular integrais de uma variável.
Passo 2
Descrevemos geometricamente
. A reta
é o eixo
, a reta
é uma linha horizontal e
é a bissetriz do primeiro quadrante. Essas três curvas formam um triângulo com vértices em
,
e
. Assim
Passo 3
As duas ordens de integração são
Ordem
:
Ordem
:
Passo 4
Escolhendo a ordem
, primeiro integramos em
:
Restará
Fazemos a substituição
, logo
ou
. Os limites em
vão de
a
. Assim
Resposta
Interpretação: esse valor é o volume sob a superfície
sobre a região triangular
.