Questão 3 Calcule a seguinte integral
onde
é a região limitada ENTRE as esferas de centro na origem e raios
com
. Dê alguma interpretação para esse número. Existe o limite, da integral acima, quando
ou
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região entre duas esferas de centro na origem e raios
e
(
).
O conteúdo aqui é integrais triplas em coordenadas esféricas, e vamos precisar da transformação
O conteúdo aqui é integrais triplas em coordenadas esféricas, e vamos precisar da transformação
com jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
e
Logo a integral fica
Passo 3
Primeiro integramos em
e
:
Multiplicando dá
Passo 4
Agora sobra o integral em
:
Passo 5
Juntando o angular
com o radial
, obtemos
Passo 6
Interpretação: essa integral mede o potencial gravitacional (ou eletrostático) num ponto na origem gerado por uma densidade uniforme de massa (ou carga) distribuída entre as duas esferas. É proporcional à diferença das áreas das esferas de raio
e
.
Passo 7
Analisando limites:
- Se
, o resultado tende a
- Se
, temos
ou seja, diverge.
Resposta
Limites: para
fica
(finito) e para
diverge.