Questão 3 Calcule a seguinte integral
\iiint_{D} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{1 / 2}} d V
onde D \subset \mathbb{R}^{3} é a região limitada ENTRE as esferas de centro na origem e raios r, R com 0<r<R. Dê alguma interpretação para esse número. Existe o limite, da integral acima, quando r \rightarrow 0^{+}ou R \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{D}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV
onde D é a região entre duas esferas de centro na origem e raios r e R ( 0<r<R).
O conteúdo aqui é integrais triplas em coordenadas esféricas, e vamos precisar da transformação
x=\rho\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\rho\cos\theta,
com jacobiano \rho^{2}\sin\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\rho e
dV = \rho^{2}\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Logo a integral fica
\iiint_{D}\frac{1}{\rho}\,\rho^{2}\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi =\int_{\rho=r}^{R}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\rho\,\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\rho.

Passo 3

Primeiro integramos em \varphi e \theta:
\int_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi, \quad \int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2.
Multiplicando dá
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = 4\pi.

Passo 4

Agora sobra o integral em \rho:
\int_{\rho=r}^{R}\rho\,d\rho =\left[\frac{\rho^{2}}{2}\right]_{r}^{R} =\frac{R^{2}-r^{2}}{2}.

Passo 5

Juntando o angular 4\pi com o radial \tfrac{R^{2}-r^{2}}{2}, obtemos
\iiint_{D}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV =4\pi\cdot\frac{R^{2}-r^{2}}{2} =2\pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).

Passo 6

Interpretação: essa integral mede o potencial gravitacional (ou eletrostático) num ponto na origem gerado por uma densidade uniforme de massa (ou carga) distribuída entre as duas esferas. É proporcional à diferença das áreas das esferas de raio R e r.

Passo 7

Analisando limites:
  • Se r\to0^{+}, o resultado tende a
2\pi\bigl(R^{2}-0\bigr)=2\pi R^{2}\quad\text{(finito).}
  • Se R\to\infty, temos
2\pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr)\to\infty,
ou seja, diverge.

Resposta

\iiint_{D}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,dV =2\pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).
Limites: para r\to0^{+} fica 2\pi R^{2} (finito) e para R\to\infty diverge.

Exercícios relacionados