Questão 5 Considere a função
. Escreva (mas não calcule) a integral tripla de
na região
limitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral tripla da função
na região
limitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
O conteúdo é integração tripla e usaremos mudança para coordenadas cilíndricas adaptadas ao eixo .
O conteúdo é integração tripla e usaremos mudança para coordenadas cilíndricas adaptadas ao eixo
Passo 2
Primeiro, devemos entender os limites em coordenadas cartesianas:
- Para cada ponto
, varia de até . - A projeção de
no plano é o disco
Passo 3
É conveniente usar coordenadas cilíndricas ao redor do eixo
:
com
,
e
mantido como está.
Passo 4
Em coordenadas
temos
logo
e o elemento de volume é
Passo 5
Agora montamos a integral iterada: