Questão 5 Considere a função f(x, y, z)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}. Escreva (mas não calcule) a integral tripla de f na região D \subset \mathbb{R}^{3} limitada pelo paraboloide y=x^{2}+z^{2} e pelo plano y=4.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral tripla da função
f(x,y,z)=e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)}
na região D\subset\mathbb{R}^{3} limitada pelo paraboloide y = x^{2}+z^{2} e pelo plano y=4.
O conteúdo é integração tripla e usaremos mudança para coordenadas cilíndricas adaptadas ao eixo y.

Passo 2

Primeiro, devemos entender os limites em coordenadas cartesianas:
  • Para cada ponto (x,z), y varia de y = x^{2}+z^{2} até y=4.
  • A projeção de D no plano xz é o disco
x^{2}+z^{2}\le4.

Passo 3

É conveniente usar coordenadas cilíndricas ao redor do eixo y:
x = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta,\quad y = y,
com r\ge0, \theta\in[0,2\pi] e y mantido como está.

Passo 4

Em coordenadas (r,\theta,y) temos
x^{2}+z^{2}=r^{2},
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f = e^{-\bigl(r^{2}+y^{2}\bigr)},
e o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dy.

Passo 5

Agora montamos a integral iterada:
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{y=r^{2}}^{4} e^{-\bigl(r^{2}+y^{2}\bigr)} \,r\,dy\,dr\,d\theta.

Resposta

\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{r^{2}}^{4} e^{-\bigl(r^{2}+y^{2}\bigr)}\,r\,dy\,dr\,d\theta.

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