Questão 2.

Considere o lançamento de um dado de 6 faces aleatoriamente.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina A=[ a face do dado é par ] e B=[ o resultado é <= 3]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule P(A) e P(B).
c. Defina o evento A cup B e calcule P(A cup B).
d. Defina o evento A cap B e calcule P(A cap B).
e. Utilizando os resultados dos itens be d, calcule P(A cup B) utilizando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos, isto é, P(A cup B)= P(A)+P(B)-P(A cap B). Compare esses resultados com os resultados obtidos no item c.
f. Defina os eventos A^c e B^c, e calcule P(A^c) e P(B^c) utilizando a propriedade da probabilidade do complementar de um evento, isto é, P(A^c)=
1-P(A).
g. Calcule P(A mid B) e P(B mid A).
h. Com base nas suas respostas até agora, você diria que A e B são independentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento de um dado justo de seis faces, pedindo para descrever o espaço amostral, definir eventos A (face par) e B (resultado <=3), calcular suas probabilidades, sua união, interseção, complementares, probabilidades condicionais e verificar independência. Vamos usar a probabilidade clássica por contagem de casos equiprováveis, a fórmula da união de dois eventos, a definição de complementar e de probabilidade condicional.

Passo 2

O espaço amostral é o conjunto de todas as faces possíveis:
Omega = 1,2,3,4,5,6
Em um experimento equiprovável de n resultados, P(evento) = tfracnº de casos favoráveisnºá.

Passo 3

Definimos os eventos:
A = face par = 2,4,6, B = resu<ado<=3 = 1,2,3
Como cada face tem probabilidade tfrac16,
P(A) = |A|6 = 36 = 12, P(B) = |B|6 = 36 = 12

Passo 4

A união dos eventos é
Acup B = 1,2,3,4,6,
logo
P(Acup B) = |Acup B|6 = 56

Passo 5

A interseção dos eventos é
Acap B = 2,
portanto
P(Acap B) = |Acap B|6 = 16

Passo 6

Pela propriedade da união de dois eventos:
P(Acup B) = P(A) + P(B) - P(Acap B) = 12 + 12 - 16 = 1 - 16 = 56
Isso coincide com o valor obtido no passo 4.

Passo 7

Os complementares são
A^c = 1,3,5, B^c = 4,5,6
Usando P(A^c)=1-P(A) e P(B^c)=1-P(B):
P(A^c) = 1 - 12 = 12, P(B^c) = 1 - 12 = 12

Passo 8

As probabilidades condicionais são
P(Amid B) = P(Acap B)P(B) = tfrac16tfrac12 = 13,
P(Bmid A) = P(Acap B)P(A) = tfrac16tfrac12 = 13

Passo 9

Para verificar independência, comparamos P(Acap B) com P(A),P(B):
P(A),P(B) = 12cdot12 = 14,
mas
P(Acap B)=tfrac16neqtfrac14. Logo, A e B não são independentes.

Resposta

a. Omega = 1,2,3,4,5,6.
b. P(A) = tfrac12, P(B) = tfrac12.
c. Acup B = 1,2,3,4,6, P(Acup B) = tfrac56.
d. Acap B = 2, P(Acap B) = tfrac16.
e. Pela fórmula P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)=tfrac56, que confere com (c).
f. A^c=1,3,5, P(A^c)=tfrac12; B^c=4,5,6, P(B^c)=tfrac12.
g. P(Amid B)=tfrac13, P(Bmid A)=tfrac13.
h. A e B não são independentes, pois P(Acap B)=tfrac16neqP(A)P(B)=tfrac14.

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