Questão 1.

Considere o lançamento de uma moeda aleatoriamente.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina A=[ cara ] e B=[ coroa ]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule P(A) e P(B).
c. Defina o evento A cup B e calcule P(A cup B).
d. Defina o evento A cap B e calcule P(A cap B).
e. Utilizando os resultados dos itens b e d, calcule P(A cup B) utilizando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos, isto é, P(A cup B)= P(A)+P(B)-P(A cap B). Compare esses resultados com os resultados obtidos no item c.
f. Defina os eventos A^c e B^c, e calcule P(A^c) e P(B^c) utilizando a propriedade da probabilidade do complementar de um evento, isto é, P(A^c)= 1-P(A). Compare os resultados com os resultados obtidos no item b, notando que A^c=B e B^c=A.
g. Calcule P(A mid B) e P(B mid A).
h. Com base nas suas respostas até agora, você diria que A e B são independentes? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento de uma moeda justa. O conteúdo é probabilidade básica: espaço amostral, eventos, probabilidade de eventos, união, interseção, complementar, probabilidade condicional e independência. Vamos:
  1. Escrever Omega.
  2. Definir A e B e calcular P(A) e P(B).
  3. Calcular união e interseção de A e B.
  4. Usar fórmulas de união e complementar.
  5. Calcular P(Amid B), P(Bmid A).
  6. Verificar independência.

Passo 2

Para o item a, o espaço amostral é simplesmente os dois resultados possíveis do lançamento:
Omega = cara,coroa

Passo 3

No item b, como a moeda é justa e há dois resultados equiprováveis, cada um vale probabilidade 1/2. Assim, definindo
A = [cara], B = [coroa],
temos
P(A) = tfrac12, P(B) = tfrac12

Passo 4

No item c, o evento A cup B é todos os resultados possíveis:
A cup B = cara,coroa = Omega,
logo
P(A cup B) = P(Omega) = 1

Passo 5

No item d, o evento A cap B são resultados que sejam cara e coroa ao mesmo tempo. Isso é impossível:
A cap B = varnothing,
portanto
P(A cap B) = 0

Passo 6

No item e, aplicamos a fórmula
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) = tfrac12 + tfrac12 - 0 = 1
Isso coincide com o resultado do item c.

Passo 7

No item f, os complementares são
A^c = Omega setminus A = coroa = B, B^c = cara = A
Usando P(A^c) = 1 - P(A) e similar para B,
P(A^c) = 1 - tfrac12 = tfrac12, P(B^c) = 1 - tfrac12 = tfrac12
Conferimos que P(A^c)=P(B) e P(B^c)=P(A).

Passo 8

No item g, a probabilidade condicional é
P(A mid B) = P(A cap B)P(B) = 0tfrac12 = 0, P(B mid A) = P(B cap A)P(A) = 0tfrac12 = 0

Passo 9

No item h, para independência precisamos P(A cap B)=P(A),P(B). Aqui P(A cap B)=0 mas P(A),P(B)=tfrac14neq0. Logo não são independentes.

Resposta

a) Omega = cara,coroa\n
b) P(A)=tfrac12, P(B)=tfrac12\n
c) A cup B = Omega, P(A cup B)=1\n
d) A cap B = varnothing, P(A cap B)=0\n
e) Pela fórmula da união: tfrac12+tfrac12-0=1, coincide com (c)\n
f) A^c=B, B^c=A; P(A^c)=tfrac12, P(B^c)=tfrac12, bate com (b)\n
g) P(Amid B)=0, P(Bmid A)=0\n
h) Não são independentes, pois 0=P(Acap B)neqP(A)P(B)=tfrac14.

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