Questão 3.

Considere uma urna com bolas numeradas de 1 a 18. Uma bola é retirada aleatoriamente da urna, e seu número é anotado.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina A=[ a bola retirada é par ], B=[ a bola retirada é ímpar ] e C=[ a bola retirada é múltipla de 3 ]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule P(A), P(B) e P(C).
c. Defina os eventos A cup B, A cup C, B cup C, e calcule P(A cup B), P(A cup C) e P(B cup C).
d. Defina os eventos A cap B, A cap C, B cap C, e calcule P(A cap B), P(A cap C) e P(B cap C).
e. Utilizando os resultados dos itens b e d, calcule P(A cup B), P(A cup C) e P(B cup C) utilizando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos, isto é, P(A cup B)=P(A)+P(B)-P(A cap B). Compare esses resultados com os resultados obtidos no item c.
f. Calcule P(A^c) e P(B^c) utilizando a propriedade da probabilidade do complementar de um evento, isto é, P(A^c)=1-P(A). Compare os resultados com os resultados obtidos no item itens b, notando que A^c=B e B^c=A.
g. Calcule P(A mid B), P(A mid C), P(B mid A), P(B mid C), P(C mid A) e P(C mid B).
h. Com base nas suas respostas até agora, você diria que A, B e C são independentes entre si? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de probabilidade discreta com espaço amostral uniforme. Temos uma urna com bolas numeradas de 1 a 18, de modo que
Omega = 1,2,3,dots,18
com cada elemento tendo probabilidade igual a 1/18. Definem-se os eventos
  • A = “a bola retirada é par”
  • B = “a bola retirada é ímpar”
  • C = “a bola retirada é múltipla de 3”
Usaremos contagem de elementos para calcular probabilidades, além das propriedades de união, interseção e complementar.

Passo 2

Primeiro identificamos o número de elementos de cada evento:
A = 2,4,6,8,10,12,14,16,18, |A|=9,
B = 1,3,5,7,9,11,13,15,17, |B|=9,
C = 3,6,9,12,15,18, |C|=6
Como cada ponto tem probabilidade 1/18, temos
P(A) = 918 = tfrac12, P(B) = 918 = tfrac12, P(C) = 618 = tfrac13

Passo 3

Agora definimos as uniões e calculamos seus tamanhos:
Acup B = Omega, |Acup B| = 18 implies P(Acup B)=1,
Acup C = 2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18, |Acup C|=12 implies P(Acup C)=tfrac1218=tfrac23,
Bcup C = 1,3,5,6,7,9,11,12,13,15,17,18, |Bcup C|=12 implies P(Bcup C)=tfrac1218=tfrac23

Passo 4

Definimos as interseções e calculamos:
Acap B = varnothing, |Acap B|=0 implies P(Acap B)=0,
Acap C = 6,12,18, |Acap C|=3 implies P(Acap C)=tfrac318=tfrac16,
Bcap C = 3,9,15, |Bcap C|=3 implies P(Bcap C)=tfrac318=tfrac16

Passo 5

Usando a fórmula da união para dois eventos:
P(Xcup Y)=P(X)+P(Y)-P(Xcap Y),
recalculamos:
P(Acup B)=tfrac12+tfrac12-0=1, P(Acup C)=tfrac12+tfrac13-tfrac16=tfrac23,
P(Bcup C)=tfrac12+tfrac13-tfrac16=tfrac23
Conferimos que coincidem com os valores do passo 3.

Passo 6

O complementar de um evento X satisfaz P(X^c)=1-P(X). Logo:
P(A^c)=1-tfrac12=tfrac12, P(B^c)=1-tfrac12=tfrac12
Como A^c=B e B^c=A, esses resultados confirmam as probabilidades de A e B do passo 2.

Passo 7

Calculamos agora probabilidades condicionais, usando
P(Xmid Y)=P(Xcap Y)/P(Y):
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)=01/2=0,
P(Amid C)=tfrac161/3=tfrac12,
P(Bmid A)=01/2=0,
P(Bmid C)=tfrac161/3=tfrac12,
P(Cmid A)=tfrac161/2=tfrac13,
P(Cmid B)=tfrac161/2=tfrac13

Passo 8

Para que A,B,C fossem mutuamente independentes, precisaríamos ao menos de
P(Acap B)=P(A),P(B). Porém
P(Acap B)=0neqtfrac12cdottfrac12=tfrac14. Logo A e B não são independentes, e portanto o trio A,B,C não é independente.

Resposta

a. Omega = 1,2,dots,18
b. P(A)=tfrac12, P(B)=tfrac12, P(C)=tfrac13
c. P(Acup B)=1, P(Acup C)=tfrac23, P(Bcup C)=tfrac23
d. P(Acap B)=0, P(Acap C)=tfrac16, P(Bcap C)=tfrac16
e. Mesmos valores do item c usando a fórmula da união.
f. P(A^c)=tfrac12, P(B^c)=tfrac12 confirme A^c=B, B^c=A.
g. P(Amid B)=0, P(Amid C)=tfrac12, P(Bmid A)=0, P(Bmid C)=tfrac12, P(Cmid A)=tfrac13, P(Cmid B)=tfrac13
h. Não são independentes (pois P(Acap B)neqP(A),P(B)).

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