Questão 3.
Considere uma urna com bolas numeradas de 1 a 18. Uma bola é retirada aleatoriamente da urna, e seu número é anotado.
a. Esboce o espaço amostral
desse problema.
b. Defina
a bola retirada é par
a bola retirada é ímpar
e
a bola retirada é múltipla de 3
. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule
e
.
c. Defina os eventos
, e calcule
e
.
d. Defina os eventos
, e calcule
e
.
e. Utilizando os resultados dos itens b e d, calcule
e
utilizando a propriedade da probabilidade da união de dois eventos, isto é,
. Compare esses resultados com os resultados obtidos no item c.
f. Calcule
e
utilizando a propriedade da probabilidade do complementar de um evento, isto é,
. Compare os resultados com os resultados obtidos no item itens
, notando que
e
.
g. Calcule
e
.
h. Com base nas suas respostas até agora, você diria que
e
são independentes entre si? Justifique.
a. Esboce o espaço amostral
b. Defina
c. Defina os eventos
d. Defina os eventos
e. Utilizando os resultados dos itens b e d, calcule
f. Calcule
g. Calcule
h. Com base nas suas respostas até agora, você diria que
Passo 1
O enunciado descreve um experimento de probabilidade discreta com espaço amostral uniforme. Temos uma urna com bolas numeradas de 1 a 18, de modo que
com cada elemento tendo probabilidade igual a
. Definem-se os eventos
-
“a bola retirada é par” -
“a bola retirada é ímpar” -
“a bola retirada é múltipla de 3”
Usaremos contagem de elementos para calcular probabilidades, além das propriedades de união, interseção e complementar.
Passo 2
Primeiro identificamos o número de elementos de cada evento:
Como cada ponto tem probabilidade
, temos
Passo 3
Agora definimos as uniões e calculamos seus tamanhos:
Passo 4
Definimos as interseções e calculamos:
Passo 5
Usando a fórmula da união para dois eventos:
recalculamos:
Conferimos que coincidem com os valores do passo 3.
Passo 6
O complementar de um evento
satisfaz
. Logo:
Como
e
, esses resultados confirmam as probabilidades de
e
do passo 2.
Passo 7
Calculamos agora probabilidades condicionais, usando
:
Passo 8
Para que
fossem mutuamente independentes, precisaríamos ao menos de
. Porém
. Logo
e
não são independentes, e portanto o trio
não é independente.
Resposta
a.
b.
c.
d.
e. Mesmos valores do item c usando a fórmula da união.
f. confirme
.
g.
h. Não são independentes (pois ).
b.
c.
d.
e. Mesmos valores do item c usando a fórmula da união.
f.
g.
h. Não são independentes (pois