Questão 6.

Considere o lançamento de uma moeda aleatoriamente n=3 vezes.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina A=[ ocorrem 3 caras ]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, calcule P(A).
c. Defina C1= [cara no 1^0 lançamento], C2=[ cara no 2^0 lançamento ] e C3=[ cara no 3^0 lançamento ]. Calcule P(C1), P(C2) e P(C3).
d. Defina C1 cap C2 cap C3, e calcule P(C1 cap C2 cap C3). Compare o resultado com aquele obtido no item b. O que você conclui sobre a independência entre C1, C2 e C3, e sobre a independência entre os lançamentos da moeda em geral? (Dica: mostre que P(C1 cap C2 cap C3)=P(C1) cdot P(C2) cdot P(C3)).

Passo 1

O enunciado fala de três lançamentos de uma moeda honesta (modelo de probabilidade uniforme sobre todos os resultados). Vamos (i) escrever o espaço amostral Omega, (ii) definir o evento A = “ocorrem 3 caras” e calcular P(A), (iii) definir os eventos C1,C2,C3 = “cara no 1^!o, 2^!o, 3^!o lançamento” e calcular suas probabilidades, e (iv) calcular P(C1cap C2cap C3) e comparar com P(C1)P(C2)P(C3) para discutir independência.

Passo 2

O espaço amostral Omega é o conjunto de todos os resultados possíveis de três lançamentos, onde cada resultado é uma sequência de “cara” ou “coroa”. Assim,
Omega = (cara,cara,cara),(cara,cara,coroa),(cara,coroa,cara),(cara,coroa,coroa),(coroa,cara,cara),(coroa,cara,coroa),(coroa,coroa,cara),(coroa,coroa,coroa)

Passo 3

O evento A = [ocorrem 3 caras] é
A = (cara,cara,cara)
Como todos os 8 resultados têm probabilidade igual em uma moeda honesta,
P(A) = |A||Omega| = 18

Passo 4

Os eventos
C1 = [cara no 1º lançamento], C2 = [cara no 2º lançamento], C3 = [cara no 3º lançamento] ºçºçºç
cada um contém exatamente metade dos resultados de Omega (por exemplo, C1 = todas as sequências cujo primeiro elemento é “cara”, são 4 de 8). Logo, para i=1,2,3,
P(Ci) = 48 = tfrac12

Passo 5

O evento
C1cap C2cap C3
é exatamente o resultado “cara em todos os três lançamentos”, que coincide com A. Portanto,
P(C1cap C2cap C3) = 18
Por outro lado,
P(C1)cdotP(C2)cdotP(C3) = tfrac12 times tfrac12 times tfrac12 = tfrac18
Como
P(C1cap C2cap C3) = P(C1)P(C2)P(C3),
concluímos que C1,C2,C3 são eventos mutuamente independentes, refletindo o fato de que os lançamentos da moeda são independentes entre si.

Resposta

a. Omega = (cara,cara,cara),dots,(coroa,coroa,coroa) com 8 elementos.
b. P(A)=tfrac18
c. P(C1)=P(C2)=P(C3)=tfrac12
d. P(C1cap C2cap C3)=tfrac18, e como isto é igual a tfrac12cdottfrac12cdottfrac12, os eventos são independentes, mostrando também que os lançamentos da moeda são independentes.

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