Questão 6.
Considere o lançamento de uma moeda aleatoriamente
vezes.
a. Esboce o espaço amostral
desse problema.
b. Defina
ocorrem 3 caras
. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, calcule
.
c. Defina
[cara no
lançamento],
cara no
lançamento
e
cara no
lançamento
. Calcule
e
.
d. Defina
, e calcule
. Compare o resultado com aquele obtido no item b. O que você conclui sobre a independência entre
e
, e sobre a independência entre os lançamentos da moeda em geral? (Dica: mostre que
.
a. Esboce o espaço amostral
b. Defina
c. Defina
d. Defina
Passo 1
O enunciado fala de três lançamentos de uma moeda honesta (modelo de probabilidade uniforme sobre todos os resultados). Vamos (i) escrever o espaço amostral
, (ii) definir o evento
= “ocorrem 3 caras” e calcular
, (iii) definir os eventos
= “cara no
,
,
lançamento” e calcular suas probabilidades, e (iv) calcular
e comparar com
para discutir independência.
Passo 2
O espaço amostral
é o conjunto de todos os resultados possíveis de três lançamentos, onde cada resultado é uma sequência de “cara” ou “coroa”. Assim,
Passo 3
O evento
= [ocorrem 3 caras] é
Como todos os
resultados têm probabilidade igual em uma moeda honesta,
Passo 4
Os eventos
cada um contém exatamente metade dos resultados de
(por exemplo,
= todas as sequências cujo primeiro elemento é “cara”, são
de
). Logo, para
,
Passo 5
O evento
é exatamente o resultado “cara em todos os três lançamentos”, que coincide com
. Portanto,
Por outro lado,
Como
concluímos que são eventos mutuamente independentes, refletindo o fato de que os lançamentos da moeda são independentes entre si.
concluímos que
Resposta
a.
com 8 elementos.
b.
c.
d. , e como isto é igual a
, os eventos são independentes, mostrando também que os lançamentos da moeda são independentes.
b.
c.
d.