Questão 4.
Considere o lançamento de uma moeda aleatoriamente
vezes.
a. Esboce o espaço amostral
desse problema.
b. Defina
cara no
lançamento
cara no
lançamento
,
cara nos 2 lançamentos
e
ocorre a mesma face nos 2 lançamentos
. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule
e
.
c. Defina os eventos
e
, e calcule
e
.
d. Calcule
e
.
e. Com base nas suas respostas até agora, você diria que
e
são independentes entre si? Justifique.
a. Esboce o espaço amostral
b. Defina
c. Defina os eventos
d. Calcule
e. Com base nas suas respostas até agora, você diria que
Passo 1
O enunciado trata de lançar uma moeda duas vezes (
) e de definir eventos sobre ocorrência de “cara” no primeiro ou no segundo lançamento, bem como eventos de cara em ambos ou de mesma face nos dois lançamentos. O conteúdo é probabilidade clássica, em que cada ponto do espaço amostral tem probabilidade igual. Vamos:
- Montar o espaço amostral
. - Definir os eventos
e calcular . - Definir e calcular probabilidades das interseções
. - Calcular as probabilidades condicionais pedidas.
- Verificar se esses eventos são independentes.
Passo 2
O espaço amostral
de dois lançamentos, com cada resultado igualmente provável, é
Cada um dos quatro pontos tem probabilidade
.
Passo 3
Definimos e calculamos:
–
no 1º lançamento
, logo
–
no 2º lançamento
, logo
–
em ambos
, logo
–
mesma face nos dois lançamentos
, logo
Passo 4
Interseções e probabilidades:
–
,
–
,
–
,
–
,
–
,
–
,
Passo 5
Probabilidades condicionais:
Passo 6
Para independência de, digamos,
e
precisaríamos de
.
Mas .
Logo e
não são independentes. Como já falha para esse par, o conjunto
não é independente.
Mas
Logo
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) Não são independentes, pois por exemplo