Questão 4.

Considere o lançamento de uma moeda aleatoriamente n=2 vezes.
a. Esboce o espaço amostral Omega desse problema.
b. Defina A=[ cara no 1^0 lançamento ], B=[ cara no 2^0 lançamento ], C=[ cara nos 2 lançamentos ] e D=[ ocorre a mesma face nos 2 lançamentos ]. Considerando que cada elemento do espaço amostral têm a mesma probabilidade, calcule P(A), P(B), P(C) e P(D).
c. Defina os eventos A cap B, A cap C, A cap D, B cap C, B cap D e C cap D, e calcule P(A cap B), P(A cap C), P(A cap D), P(B cap C), P(B cap D) e P(C cap D).
d. Calcule P(A mid B), P(A mid C), P(A mid D), P(B mid A), P(B mid C), P(B mid D) e P(C mid D).
e. Com base nas suas respostas até agora, você diria que A, B, C e D são independentes entre si? Justifique.

Passo 1

O enunciado trata de lançar uma moeda duas vezes ( n=2) e de definir eventos sobre ocorrência de “cara” no primeiro ou no segundo lançamento, bem como eventos de cara em ambos ou de mesma face nos dois lançamentos. O conteúdo é probabilidade clássica, em que cada ponto do espaço amostral tem probabilidade igual. Vamos:
  1. Montar o espaço amostral Omega.
  2. Definir os eventos A,B,C,D e calcular P(A),P(B),P(C),P(D).
  3. Definir e calcular probabilidades das interseções Acap B, Acap C,dots,Ccap D.
  4. Calcular as probabilidades condicionais pedidas.
  5. Verificar se esses eventos são independentes.

Passo 2

O espaço amostral Omega de dois lançamentos, com cada resultado igualmente provável, é
Omega = (cara,cara),;(cara,coroa),;(coroa,cara),;(coroa,coroa)
Cada um dos quatro pontos tem probabilidade tfrac14.

Passo 3

Definimos e calculamos:
A = [ cara no 1º lançamento ) = (cara,cara),(cara,coroa), logo
P(A) = 2timestfrac14 = tfrac12
B = [ cara no 2º lançamento ) = (cara,cara),(coroa,cara), logo
P(B) = 2timestfrac14 = tfrac12
C = [ cara em ambos ) = (cara,cara), logo
P(C) = 1timestfrac14 = tfrac14
D = [mesma face nos dois lançamentos ) = (cara,cara),(coroa,coroa), logo
P(D) = 2timestfrac14 = tfrac12

Passo 4

Interseções e probabilidades:
Acap B = (cara,cara),
P(Acap B)=tfrac14
Acap C = (cara,cara),
P(Acap C)=tfrac14
Acap D = (cara,cara),
P(Acap D)=tfrac14
Bcap C = (cara,cara),
P(Bcap C)=tfrac14
Bcap D = (cara,cara),
P(Bcap D)=tfrac14
Ccap D = (cara,cara),
P(Ccap D)=tfrac14

Passo 5

Probabilidades condicionais:
P(Amid B)=P(Acap B)P(B)=tfrac14tfrac12=tfrac12
P(Amid C)=tfrac14tfrac14=1
P(Amid D)=tfrac14tfrac12=tfrac12
P(Bmid A)=tfrac14tfrac12=tfrac12
P(Bmid C)=tfrac14tfrac14=1
P(Bmid D)=tfrac14tfrac12=tfrac12
P(Cmid D)=tfrac14tfrac12=tfrac12

Passo 6

Para independência de, digamos, A e C precisaríamos de
P(Acap C)=P(A),P(C).
Mas P(Acap C)=tfrac14neq tfrac12cdottfrac14=tfrac18.
Logo A e C não são independentes. Como já falha para esse par, o conjunto A,B,C,D não é independente.

Resposta

a) Omega = (cara,cara),(cara,coroa),(coroa,cara),(coroa,coroa)
b) P(A)=tfrac12,;P(B)=tfrac12,;P(C)=tfrac14,;P(D)=tfrac12
c)
P(Acap B)=tfrac14,;P(Acap C)=tfrac14,;P(Acap D)=tfrac14,
P(Bcap C)=tfrac14,;P(Bcap D)=tfrac14,;P(Ccap D)=tfrac14
d)
P(Amid B)=tfrac12,;P(Amid C)=1,;P(Amid D)=tfrac12,
P(Bmid A)=tfrac12,;P(Bmid C)=1,;P(Bmid D)=tfrac12,
P(Cmid D)=tfrac12
e) Não são independentes, pois por exemplo
P(Acap C)=tfrac14neq P(A),P(C)=tfrac18

Exercícios relacionados