Questão 7.
Considere uma situação em que o estado de saúde de um indivíduo possa ser classificado como doente (
) ou não doente (
). Realizamos então um teste que pode apresentar um resultado positivo (
) ou negativo (
). O espaço amostral associado à esse problema é, então,
.
a. Suponha que, em uma amostra de
indivíduos, tenhamos
e
. Elabore uma tabela de contingência 2 x 2 com as probabilidades associadas à cada um desses eventos.
b. Utilize o Teorema da Probabilidade Total e calcule as probabilidades marginais do estado de saúde do indivíduo e do resultado do teste, isto é, calcule
e
. Adicione essas probabilidades marginais à tabela elaborada no item item a.
c. A partir dos resultados do item item b, elabore uma tabela com a distribuição de probabilidade marginal do estado de saúde do indivíduo e outra com a distribuição de probabilidade marginal do resultado do teste.
d. Utilizando os resultados dos itens b e c, responda: qual a probabilidade de que, independentemente do resultado do teste, o indivíduo esteja doente? E a probabilidade de que, independentemente do estado de saúde do indivíduo, o teste seja positivo?
a. Suponha que, em uma amostra de
b. Utilize o Teorema da Probabilidade Total e calcule as probabilidades marginais do estado de saúde do indivíduo e do resultado do teste, isto é, calcule
c. A partir dos resultados do item item b, elabore uma tabela com a distribuição de probabilidade marginal do estado de saúde do indivíduo e outra com a distribuição de probabilidade marginal do resultado do teste.
d. Utilizando os resultados dos itens b e c, responda: qual a probabilidade de que, independentemente do resultado do teste, o indivíduo esteja doente? E a probabilidade de que, independentemente do estado de saúde do indivíduo, o teste seja positivo?
Passo 1
O enunciado trata de uma tabela de contingência para duas variáveis binárias: estado de saúde
e resultado do teste
. Temos as contagens em
indivíduos e queremos (a) converter em probabilidades conjuntas, (b) obter as marginais via Teorema da Probabilidade Total, (c) apresentar as distribuições marginais e (d) responder qual a probabilidade de estar doente independentemente do teste e de o teste ser positivo independentemente do estado de saúde.
Passo 2
Convertendo as frequências em probabilidades conjuntas dividindo por
, obtemos a tabela
abaixo:
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Total linha | |
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Total col. |
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Passo 3
Usando o Teorema da Probabilidade Total para marginais de
e
:
Essas marginais já estão incluídas na última linha e última coluna da tabela do passo anterior.
Passo 4
Distribuição marginal de
:
Distribuição marginal de
:
Passo 5
A probabilidade de que, independentemente do resultado do teste, o indivíduo esteja doente é exatamente
.
A probabilidade de que, independentemente do estado de saúde, o teste seja positivo é .
A probabilidade de que, independentemente do estado de saúde, o teste seja positivo é