Questão 7.

Considere uma situação em que o estado de saúde de um indivíduo possa ser classificado como doente ( D+ ) ou não doente ( D- ). Realizamos então um teste que pode apresentar um resultado positivo ( T+ ) ou negativo ( T- ). O espaço amostral associado à esse problema é, então, Omega=(D+cap T+),(D+ cap T-),(D-cap T+),(D-cap T-).
a. Suponha que, em uma amostra de n=1.000 indivíduos, tenhamos #(D+cap T+)=170, #(D+cap T-)=30, #(D-cap T+)=50 e #(D-
cap T-)=750. Elabore uma tabela de contingência 2 x 2 com as probabilidades associadas à cada um desses eventos.
b. Utilize o Teorema da Probabilidade Total e calcule as probabilidades marginais do estado de saúde do indivíduo e do resultado do teste, isto é, calcule P(D+), P(D-), P(T+) e P(T-). Adicione essas probabilidades marginais à tabela elaborada no item item a.
c. A partir dos resultados do item item b, elabore uma tabela com a distribuição de probabilidade marginal do estado de saúde do indivíduo e outra com a distribuição de probabilidade marginal do resultado do teste.
d. Utilizando os resultados dos itens b e c, responda: qual a probabilidade de que, independentemente do resultado do teste, o indivíduo esteja doente? E a probabilidade de que, independentemente do estado de saúde do indivíduo, o teste seja positivo?

Passo 1

O enunciado trata de uma tabela de contingência para duas variáveis binárias: estado de saúde D+,D- e resultado do teste T+,T-. Temos as contagens em n=1000 indivíduos e queremos (a) converter em probabilidades conjuntas, (b) obter as marginais via Teorema da Probabilidade Total, (c) apresentar as distribuições marginais e (d) responder qual a probabilidade de estar doente independentemente do teste e de o teste ser positivo independentemente do estado de saúde.

Passo 2

Convertendo as frequências em probabilidades conjuntas dividindo por 1000, obtemos a tabela 2times 2 abaixo:
T+ T- Total linha
D+ 0,17 0,03 0,20
D- 0,05 0,75 0,80
Total col. 0,22 0,78 1,00

Passo 3

Usando o Teorema da Probabilidade Total para marginais de D e T:
P(D+)=0,17+0,03=0,20, P(D-)=0,05+0,75=0,80,
P(T+)=0,17+0,05=0,22, P(T-)=0,03+0,75=0,78
Essas marginais já estão incluídas na última linha e última coluna da tabela do passo anterior.

Passo 4

Distribuição marginal de D:
P(D+)=0,20, P(D-)=0,80
Distribuição marginal de T:
P(T+)=0,22, P(T-)=0,78

Passo 5

A probabilidade de que, independentemente do resultado do teste, o indivíduo esteja doente é exatamente P(D+)=0,20.
A probabilidade de que, independentemente do estado de saúde, o teste seja positivo é P(T+)=0,22.

Resposta

P(D+)=0,20 P(T+)=0,22

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