Três cargas elétricas puntiformes estão distribuidas no plano cartesiano ( x , \mathrm{y}, \mathrm{z} ). As cargas e suas respectivas posições são: \mathrm{q}_{\mathrm{A}}=-\mathrm{q} no ponto \mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{q}_{\mathrm{B}}=+2 \mathrm{q} no ponto \mathrm{B}(0,0,0), \mathrm{q}_{\mathrm{c}}=+3 \mathrm{q} no ponto \mathrm{C}(0,1,0), onde as coordenadas estão em metros (m).
Calcule o campo elétrico total \mathbf{E} (módulo, direção e sentido) no ponto B (origem do sistema), devido às cargas localizadas em A e C. (1.0 Ponto)

Passo 1

O enunciado dá as três cargas e suas posições (todas em metros) e pede o campo elétrico total no ponto B (a origem) devido às cargas em A e C. Dados relevantes:
  • Carga em A: \,q_A = -q localizada em A(1,0,0).
  • Carga em B: \,q_B = +2q localizada em B(0,0,0) — esta carga não gera campo sobre si mesma, então não entra no cálculo do campo no ponto B.
  • Carga em C: \,q_C = +3q localizada em C(0,1,0).
    O que se pede:
  • Calcular o campo elétrico total \mathbf{E} no ponto B (origem) devido às cargas em A e C: isto inclui módulo (magnitude), direção e sentido.

Passo 2

Vamos lembrar a expressão do campo elétrico gerado por uma carga pontual e explicar cada coisa (aula curtinha):
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,\dfrac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}'),
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática (às vezes escrita como k\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}),
  • q é a carga fonte,
  • \mathbf{r}' é a posição da carga fonte,
  • \mathbf{r} é o ponto onde se quer o campo,
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da posição da carga até o ponto onde se calcula o campo.
    Interpretação prática simples: a direção do campo no ponto é a direção do vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}' (da carga para o ponto), e o sinal de q determina o sentido (cargas positivas empurram o vetor do campo no sentido de \mathbf{r}-\mathbf{r}', cargas negativas invertem o sentido).
Aqui o ponto onde queremos o campo é a origem \mathbf{r}=(0,0,0). Para cada carga usaremos \mathbf{r}' igual à posição da carga e aplicaremos a fórmula.

Passo 3

Campo no ponto B devido à carga em A.
  • Posição da carga: \mathbf{r}'_{A}=(1,0,0).
  • Como \mathbf{r}=(0,0,0), o vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}'_{A}=(0,0,0)-(1,0,0)=(-1,0,0).
  • O módulo desse vetor é |\mathbf{r}-\mathbf{r}'_{A}|=1\\ \mathrm{m}.
    Aplicando a fórmula:
\mathbf{E}_{A}=k\,\dfrac{q_A}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'_{A}|^{3}}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}'_{A}) = k\,\dfrac{-q}{1^{3}}(-1,0,0).
Fazendo as contas (observe que -q\cdot(-1)=+q):
\mathbf{E}_{A}=k q\,(1,0,0).
Comentário intuitivo: q_A é negativa, então o campo no origin aponta em direção à carga (ou seja, para +x). O resultado vetorial confirma isso.

Passo 4

Campo no ponto B devido à carga em C.
  • Posição da carga: \mathbf{r}'_{C}=(0,1,0).
  • Vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}'_{C}=(0,0,0)-(0,1,0)=(0,-1,0).
  • Módulo: |\mathbf{r}-\mathbf{r}'_{C}|=1\\ \mathrm{m}.
    Aplicando a fórmula:
\mathbf{E}_{C}=k\,\dfrac{q_C}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'_{C}|^{3}}\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}'_{C}) = k\,\dfrac{3q}{1^{3}}\,(0,-1,0).
Portanto
\mathbf{E}_{C}=k q\,(0,-3,0).
Comentário intuitivo: q_C é positiva, então no ponto origem o campo aponta para longe da carga C, isto é, para -y (conforme o vetor (0,-1,0)); a magnitude é três vezes maior que a de uma carga q a 1 m.

Passo 5

Somando vetor a vetor para obter o campo total no ponto B:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{A}+\mathbf{E}_{C}=k q\,(1,0,0)+k q\,(0,-3,0)=k q\,(1,-3,0).
Pronto: esse é o campo total em forma vetorial.

Passo 6

Calcular o módulo (magnitude) do campo resultante:
|\mathbf{E}| = k q \sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} = k q \sqrt{1+9}=k q \sqrt{10}.

Passo 7

Direção e sentido:
  • Vetor unitário na direção de \mathbf{E}:
\hat{\mathbf{u}}=\dfrac{\mathbf{E}}{|\mathbf{E}|}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\,(1,-3,0).
  • Ângulo com o eixo +x (medido no sentido anti-horário; aqui o componente y é negativo, então o ângulo é negativo):
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{E_{y}}{E_{x}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-3}{1}\right)\approx -71,6^\circ.
Interpretação do sentido: o campo aponta para a região com x>0 e y<0 (quadrante com +x e -y), formando cerca de 71,6^\circ abaixo do eixo +x (ou seja, 71,6^\circ no sentido horário a partir de +x).

Passo 8

Resumo físico rápido (rápido incentivo): o resultado faz sentido: a carga negativa em A puxa o campo para +x, enquanto a carga positiva maior em C empurra o campo para -y com intensidade três vezes maior; o resultado é a soma desses efeitos, dando um campo resultante oblíquo para +x e -y. Vai dar tudo certo na prova — respira, anota a fórmula e pratica mais um exercício desses!

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=k\,q\,(1,-3,0)\\ \mathrm{N/C}, onde \displaystyle k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
\displaystyle |\mathbf{E}|=k\,q\,\sqrt{10}.
\displaystyle \hat{\mathbf{u}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\,(1,-3,0)\quad\text{(ângulo com \(+x: }\theta\approx -71,6^\circ, isto é, 71,6° abaixo de +x).)

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