Questão 7 Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
2. S=\left\{1+2 x, x+x^{3}, x^{2}+x^{3}\right\} \subset \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=\{\,1+2x,\; x+x^{3},\; x^{2}+x^{3}\,\}\subset\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).\n
Informações dadas:
  • Os elementos de S são os polinômios \,p_{1}(x)=1+2x, \,p_{2}(x)=x+x^{3} e \,p_{3}(x)=x^{2}+x^{3}.
  • O espaço ambiente é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), polinômios de grau no máximo 3.\n
    O que precisamos responder: dizer se esses três polinômios são L.I. ou L.D.

Passo 2

Definição prática e método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Dizemos que vetores (ou polinômios) v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir solução não trivial (alguma constante diferente de zero), então são linearmente dependentes.\n
  • No caso de polinômios, igualdade ao polinômio nulo significa igualdade coeficiente a coeficiente: todos os coeficientes das potências 1,x,x^{2},x^{3} devem ser zero. Isso funciona porque \{1,x,x^{2},x^{3}\} é uma base de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): representamos cada polinômio pelos seus coeficientes e resolvemos o sistema linear obtido.

Passo 3

Escrevemos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
\alpha(1+2x)+\beta(x+x^{3})+\gamma(x^{2}+x^{3})=0
Agora expandimos e agrupamos por potências de x:
\alpha + (2\alpha+\beta)x + \gamma x^{2} + (\beta+\gamma)x^{3}=0.
Isto significa que os coeficientes de cada potência devem ser zero. Assim obtemos o sistema de equações em \alpha,\beta,\gamma:
\begin{cases} \text{coeficiente de }1: & \alpha=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x: & 2\alpha+\beta=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x^{2}: & \gamma=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }x^{3}: & \beta+\gamma=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação temos \alpha=0.\n
  • Substituindo \alpha=0 na segunda equação 2\alpha+\beta=0 obtemos 0+\beta=0, logo \beta=0.\n
  • Da terceira equação temos diretamente \gamma=0.\n
  • A quarta equação \beta+\gamma=0 fica 0+0=0, que é satisfeita.\n
    Portanto a única solução do sistema é
\alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática:
  • Como a única combinação linear que produz o polinômio zero é a combinação trivial, os polinômios em S são linearmente independentes.\n
    Observação intuitiva (para fixar a ideia): os vetores de coeficientes relativos à base \{1,x,x^{2},x^{3}\} são
p_{1}\mapsto\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad p_{2}\mapsto\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad p_{3}\mapsto\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},
e vendo esses vetores fica claro (pela posição dos primeiros componentes não nulos) que não existe combinação não-trivial que anule todos os componentes ao mesmo tempo — o cálculo formal que fizemos confirma isso.]

Resposta

Linearmente independente.

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