Questão 7 Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
2.
.
2.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os elementos de
são os polinômios , e . - O espaço ambiente é
, polinômios de grau no máximo .\n
O que precisamos responder: dizer se esses três polinômios são L.I. ou L.D.
Passo 2
Definição prática e método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Dizemos que vetores (ou polinômios)
são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
. Se existir solução não trivial (alguma constante diferente de zero), então são linearmente dependentes.\n
- No caso de polinômios, igualdade ao polinômio nulo significa igualdade coeficiente a coeficiente: todos os coeficientes das potências
devem ser zero. Isso funciona porque é uma base de : representamos cada polinômio pelos seus coeficientes e resolvemos o sistema linear obtido.
Passo 3
Escrevemos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
Agora expandimos e agrupamos por potências de
:
Isto significa que os coeficientes de cada potência devem ser zero. Assim obtemos o sistema de equações em
:
Passo 4
Resolvendo o sistema passo a passo:
- Da primeira equação temos
.\n - Substituindo
na segunda equação obtemos , logo .\n - Da terceira equação temos diretamente
.\n - A quarta equação
fica , que é satisfeita.\n
Portanto a única solução do sistema é
Passo 5
Interpretação e conclusão didática:
- Como a única combinação linear que produz o polinômio zero é a combinação trivial, os polinômios em
são linearmente independentes.\n
Observação intuitiva (para fixar a ideia): os vetores de coeficientes relativos à base são
e vendo esses vetores fica claro (pela posição dos primeiros componentes não nulos) que não existe combinação não-trivial que anule todos os componentes ao mesmo tempo — o cálculo formal que fizemos confirma isso.]
Resposta
Linearmente independente.