Questão: Considere no
(\mathbb{R}^{3}) o ponto P=(-2,1,4) e os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1).
Calcule o cosseno do menor ângulo \theta formado entre os vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
Dados fornecidos:
Ponto P = (-2,1,4).
Vetores \overrightarrow{v_{1}} = (1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}} = (0,2,-1).
O que o enunciado pede:
Calcular o cosseno do menor ângulo \theta formado entre \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, ou seja encontrar \cos\theta.
Observação: o ponto P foi fornecido, mas não é necessário para calcular o ângulo entre os vetores — apenas os componentes dos vetores importam aqui.
Passo 2
Entender a ferramenta que usamos: o produto escalar (dot product) e sua relação com o cosseno do ângulo.
Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: para dois vetores \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3) e \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3),
onde \|\overrightarrow{a}\| é a norma (magnitude) de \overrightarrow{a} e \theta é o ângulo entre \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}. Dessa fórmula isolamos
Valor numérico: \dfrac{2}{5}=0,4, que está no intervalo [-1,1] como deve ser para um cosseno — bom sinal.
Sinal positivo indica que o menor ângulo \theta é agudo (menor que 90^\circ).
Portanto o cosseno do menor ângulo entre os vetores é \dfrac{2}{5}.
Pequeno exemplo extra para fixar (apenas para treinar): entre (1,0) e (0,1) em \mathbb{R}^2 o produto escalar é 0, as normas são 1, logo \cos\theta=0 e o ângulo é 90^\circ. Isso mostra como o procedimento funciona em casos simples.