Questão: Considere no
(\mathbb{R}^{3}) o ponto P=(-2,1,4) e os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1).
Calcule o cosseno do menor ângulo \theta formado entre os vetores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica.
  • Dados fornecidos:
    • Ponto P = (-2,1,4).
    • Vetores \overrightarrow{v_{1}} = (1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}} = (0,2,-1).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o cosseno do menor ângulo \theta formado entre \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, ou seja encontrar \cos\theta.
Observação: o ponto P foi fornecido, mas não é necessário para calcular o ângulo entre os vetores — apenas os componentes dos vetores importam aqui.

Passo 2

Entender a ferramenta que usamos: o produto escalar (dot product) e sua relação com o cosseno do ângulo.
  • Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: para dois vetores \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3) e \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3),
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isso é só multiplicar coordenada a coordenada e somar.
  • Relação geométrica com o ângulo: o produto escalar também satisfaz
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\|\overrightarrow{a}\|\,\|\overrightarrow{b}\|\,\cos\theta,
onde \|\overrightarrow{a}\| é a norma (magnitude) de \overrightarrow{a} e \theta é o ângulo entre \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}. Dessa fórmula isolamos
\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\|\,\|\overrightarrow{b}\|}.
  • Norma de um vetor: para \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),
\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} usando a definição.
  • Aplicando a fórmula com \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1):
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} = 1\cdot 0 + 0\cdot 2 + (-2)\cdot(-1).
  • Fazer as multiplicações:
1\cdot 0 = 0,\qquad 0\cdot 2 = 0,\qquad (-2)\cdot(-1)=2.
  • Somando:
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} = 0+0+2 = 2.

Passo 4

Calcular as normas \|\overrightarrow{v_{1}}\| e \|\overrightarrow{v_{2}}\|.
  • Para \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,-2):
\|\overrightarrow{v_{1}}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.
  • Para \overrightarrow{v_{2}}=(0,2,-1):
\|\overrightarrow{v_{2}}\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{0+4+1}=\sqrt{5}.
Observação: aqui os dois vetores têm a mesma norma \sqrt{5}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno usando os valores calculados.
  • A fórmula é
\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}}{\|\overrightarrow{v_{1}}\|\,\|\overrightarrow{v_{2}}\|}.
  • Substituindo \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=2 e \|\overrightarrow{v_{1}}\|=\|\overrightarrow{v_{2}}\|=\sqrt{5}:
\cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{5}\,\sqrt{5}}=\dfrac{2}{5}.

Passo 6

Verificações e interpretação final.
  • Valor numérico: \dfrac{2}{5}=0,4, que está no intervalo [-1,1] como deve ser para um cosseno — bom sinal.
  • Sinal positivo indica que o menor ângulo \theta é agudo (menor que 90^\circ).
  • Portanto o cosseno do menor ângulo entre os vetores é \dfrac{2}{5}.
Pequeno exemplo extra para fixar (apenas para treinar): entre (1,0) e (0,1) em \mathbb{R}^2 o produto escalar é 0, as normas são 1, logo \cos\theta=0 e o ângulo é 90^\circ. Isso mostra como o procedimento funciona em casos simples.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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