Questão 7. Considere a matriz A abaixo
A=[rrr -2 & 3 & k 1 & 3 & 1 -1 & 2 & k ]
a) Para que valores de k a matriz A não possui inversa?
Considerando k=-1 resolva os itens b) e c).
b) Determine A^-1.
c) Considerando que A é a matriz dos coeficientes do sistema A X=B, onde
X=[l x y z ] e B=[l 1 6 0 ]
determine a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e pede em (a) os valores de que tornam ; em (b) para calcular ; em (c) resolver o sistema com
Para (a) vamos usar a definição de determinante de matriz . Para (b) calculamos os cofatores e montamos a adjunta de . Para (c) usamos .

Passo 2

Calculamos det(A) em função de k. Pela regra de Sarrus ou pela expansão na primeira linha:
det(A) =-2,(3k-1cdot2);-;3,(1cdot k - 1cdot(-1));+;k,(1cdot2-3cdot(-1))
Isto é
det(A) =-2(3k-2)-3(k+1)+k(2+3) =-6k+4-3k-3+5k =-4k+1
Logo det(A)=0 se, e somente se,
-4k+1=0 Longrightarrow k=tfrac14

Passo 3

Tomando k=-1, temos
A= -2 & 3 & -1 1 & 3 & 1 -1 & 2 & -1 , det(A)=-4(-1)+1=5neq0,
então é invertível. Calculamos a matriz de cofatores C e, em seguida,
adj(A)=C^T. Os cofatores são:
C= -5 & 0 & 5 1 & 1 & 1 6 & 1 & -9 ,
de onde
adj(A) =C^T = -5 & 1 & 6 0 & 1 & 1 5 & 1 & -9
Assim
A^-1=1det(A),adj(A) =15 -5 & 1 & 6 0 & 1 & 1 5 & 1 & -9 = -1 & tfrac15 & tfrac65[6pt] 0 & tfrac15 & tfrac15[6pt] 1 & tfrac15 & -tfrac95 ]

Passo 4

Para resolver usamos . Com
, calculamos
]

Resposta

a) k=tfrac14.
b) Para k=-1,
A^-1= -1 & tfrac15 & tfrac65 0 & tfrac15 & tfrac15 1 & tfrac15 & -tfrac95
c) A solução é
x=tfrac15, y=tfrac65, z=tfrac115

Exercícios relacionados