Questão 7. Considere a matriz
abaixo
a) Para que valores de
k a matriz
A não possui inversa?
Considerando
k=-1 resolva os itens b) e c).
b) Determine
A^-1 .
c) Considerando que
A é a matriz dos coeficientes do sistema
A X=B , onde
X=[l x y z ] e B=[l 1 6 0 ]
determine a solução do sistema.
b) Determine
c) Considerando que
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede em (a) os valores de
que tornam
; em (b) para
calcular
; em (c) resolver o sistema
com
Para (a) vamos usar a definição de determinante de matriz
. Para (b) calculamos os cofatores e montamos a adjunta de
. Para (c) usamos
.
Passo 2
Calculamos
det(A) em função de
k . Pela regra de Sarrus ou pela expansão na primeira linha:
Isto é
Logo
det(A)=0 se, e somente se,
Passo 3
Tomando
k=-1 , temos
então é invertível. Calculamos a matriz de cofatores
C e, em seguida,
adj(A)=C^T . Os cofatores são:
de onde
Assim
Passo 4
Para resolver
usamos
. Com
, calculamos
]
Resposta
a)
k=tfrac14 .
b) Parak=-1 ,
b) Para
c) A solução é