Questão 6 . Dado um sistema de n equações com n variáveis
ccccccc a11 x1 & + & a12 x2 & +ldots+ & a1 n xn & = & b1 a21 x1 & + & a22 x2 & +ldots+ & a2 n xn & = & b1 vdots & & vdots & & vdots & & vdots an 1 x1 & + & an 2 x2 & +ldots+ & an n xn & = & bn
Sabemos que o sistema pode ser escrito na forma matricial A X=B, onde
A=[cccc a11 & a12 & ldots & a1 n a21 & a22 & ldots & a2 n vdots & vdots & & vdots an 1 & an 2 & ldots & an n ], X=[c x1 x2 vdots xn ], B=[c b1 b2 vdots bn ]
Admitindo a existência da matriz A^-1, multiplicamos ambos os membros da igualdade A X=B por A^-1, e obtemos;
A^-1 A X=A^-1 B
Mas A^-1 A=I e I X=X, logo
X=A^-1 B
Isto é, a solução do sistema fica bastante simples, no caso em que a matriz dos coeficientes A admite uma inversa A^-1. Basta multiplicar a matriz A^-1 pela matriz B dos termos independentes. Sendo assim, em cada um dos sistemas de equações lineares abaixo, determinte se a matriz dos coeficientes admite uma inversa e em acaso afirmativo, encontre a inversa e resolva o sistema como feito acima.
rx+2 y-2 z=0 2 x+5 y-4 z=3 3 x+7 y-5 z=7

Passo 1

O enunciado dá o sistema
que podemos escrever na forma matricial , com
O conteúdo é decisão de invertibilidade de (via determinante) e, se invertível, cálculo de e da solução .

Passo 2

Para saber se A admite inversa, calculo det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet5 & -47 & -5 -2cdotdet2 & -43 & -5 +(-2)cdotdet2 & 53 & 7
Agora cada menor:
det5 & -47 & -5 =5cdot(-5)-(-4)cdot7 = -25+28 = 3,
det2 & -43 & -5 =2cdot(-5)-(-4)cdot3 = -10+12 = 2,
det2 & 53 & 7 =2cdot7-5cdot3 = 14-15 = -1
Substituindo,
det(A) = 1cdot3 - 2cdot2 +(-2)cdot(-1) = 3 - 4 + 2 = 1 neq 0
Como det(A)=1, A é invertível.

Passo 3

Vou usar a matriz de cofatores para achar A^-1. Chamando
;A=(aij), faço cada cofactor Cij=(-1)^i+jMij e monto a matriz (Cij), depois transponho para obter o adjugado. Os cofatores são:
C11&C12&C13 C21&C22&C23 C31&C32&C33 = 3 & -2 & -1 -4 & 1 & -1 2 & 0 & 1
Transpondo, o adjugado é
adj(A) = 3 & -4 & 2 -2 & 1 & 0 -1 & -1 & 1
Como det(A)=1, fica
A^-1 = adj(A) = 3 & -4 & 2 -2 & 1 & 0 -1 & -1 & 1

Passo 4

Agora calculo
X = A^-1B = 3 & -4 & 2 -2 & 1 & 0 -1 & -1 & 1 037
Multiplicando:
x = 3cdot0 + (-4)cdot3 + 2cdot7 = -12 +14 = 2,
y = -2cdot0 + 1cdot3 + 0cdot7 = 3,
z = -1cdot0 +(-1)cdot3 + 1cdot7 = -3 +7 = 4

Resposta

A matriz dos coeficientes é invertível ( det(A)=1).
A^-1 = 3 & -4 & 2 -2 & 1 & 0 -1 & -1 & 1 , (x,y,z) = (2,,3,,4)

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