Questão 6 . Dado um sistema de equações com variáveis
Sabemos que o sistema pode ser escrito na forma matricial A X=B, onde
A=[cccc a11 & a12 & ldots & a1 n a21 & a22 & ldots & a2 n vdots & vdots & & vdots an 1 & an 2 & ldots & an n ], X=[c x1 x2 vdots xn ], B=[c b1 b2 vdots bn ]
Admitindo a existência da matriz A^-1, multiplicamos ambos os membros da igualdade A X=B por A^-1, e obtemos;
A^-1 A X=A^-1 B
Mas A^-1 A=I e I X=X, logo
X=A^-1 B
Isto é, a solução do sistema fica bastante simples, no caso em que a matriz dos coeficientes A admite uma inversa A^-1. Basta multiplicar a matriz A^-1 pela matriz B dos termos independentes. Sendo assim, em cada um dos sistemas de equações lineares abaixo, determinte se a matriz dos coeficientes admite uma inversa e em acaso afirmativo, encontre a inversa e resolva o sistema como feito acima. rx+2 y-2 z=0 2 x+5 y-4 z=3 3 x+7 y-5 z=7
Passo 1
O enunciado dá o sistema
que podemos escrever na forma matricial , com
O conteúdo é decisão de invertibilidade de (via determinante) e, se invertível, cálculo de e da solução .
Passo 2
Para saber se A admite inversa, calculo det(A) por expansão na primeira linha:
Vou usar a matriz de cofatores para achar A^-1. Chamando ;A=(aij), faço cada cofactor Cij=(-1)^i+jMij e monto a matriz (Cij), depois transponho para obter o adjugado. Os cofatores são: