Considere o conjunto V=(x1, x2) ; x1, x2 in R. Mostre que ( V,+, cdot ) N tildeA O é um espaço vetorial sobre R, quando munido de cada uma das seguintes operações oplus e odot :
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) e lambda odot(x1, x2)=(lambda x1, x2).

Passo 1

O enunciado define V=(x1,x2);x1,x2inR com a soma usual
(x1,x2)oplus(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2)
e a multiplicação por escalar
lambdaodot(x1,x2)=(lambda x1,x2),
Para ser espaço vetorial sobre R precisa satisfazer todas as axiomas, em particular a distributividade de escalares:
(lambda+mu)odot v = lambdaodot v oplus muodot vforall vin V,;lambda,muinR

Passo 2

Seja v=(x1,x2). Calculamos primeiro o lado esquerdo:
(lambda+mu)odot(x1,x2) = l((lambda+mu)x1,,x2r)
Agora o lado direito:
lambdaodot(x1,x2) = (lambda x1,x2), muodot(x1,x2) = (mu x1,x2),
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lambdaodot(x1,x2)oplusmuodot(x1,x2) = (lambda x1+mu x1,,x2+x2) = l((lambda+mu)x1,,2x2r)
Para que haja igualdade precisamos 2x2=x2, i.e.\ x2=0. Como isso não vale para todo vin V, a distributiva falha.

Passo 3

A falha da propriedade
(lambda+mu)odot v = lambdaodot v oplus muodot v
impede que (V,oplus,odot) seja espaço vetorial sobre R.

Resposta

Não é um espaço vetorial sobre R porque não satisfaz a distributividade de soma de escalares.

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