Questão 4. Considere a matriz
abaixo.
a) Para que valores de
k a matriz
A é inversível?
b) Para
k=0 determine
A^-1 .
b) Para
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede: (a) para quais
k ela é invertível (isto é,
det Aneq0 ) e (b) para
k=0 calcular
A^-1 . Vamos usar operações elementares para achar
det A e eliminação de Gauss para a inversa em
k=0 .
Passo 2
Aplicamos as operações
que não mudam o valor de
det A . Obtemos
onde
Passo 3
Calculamos
Logo
e
A é inversível se, e só se,
4k^2-2neq0 , ou seja
Passo 4
Para
k=0 a matriz vira
Formamos
l[A0mid I4r] e eliminamos colunas:
-
.R2>=ts R2-2R1,;R3>=ts R3+R1,;R4>=ts R4-R1 - Pivot em coluna 2:
, depoisR3rightarrow R2 .R2>=ts -R2 - Pivot em coluna 3: normalizar
e eliminar em outras linhas.R3 - Pivot em coluna 4: normalizar
e eliminar em outras linhas.R4
Passo 5
Após essas operações chegamos à forma
l[I4mid Xr] , onde
Esse
X é precisamente
A0^-1 .
Resposta
(a)
A é inversível exatamente para
(b) Para
k=0 ,