Questão 4. Considere a matriz A abaixo.
A=[rrrr 1 & k & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & k & 0 ]
a) Para que valores de k a matriz A é inversível?
b) Para k=0 determine A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & k & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & k & 0
e pede: (a) para quais k ela é invertível (isto é, det Aneq0) e (b) para k=0 calcular A^-1. Vamos usar operações elementares para achar det A e eliminação de Gauss para a inversa em k=0.

Passo 2

Aplicamos as operações
R2>=ts R2-2R1, R3>=ts R3+R1, R4>=ts R4-R1
que não mudam o valor de det A. Obtemos
det A=det 1 & k & -1 & 1 0 & -2k & 2 & 0 0 & k-1 & -1 & 2 0 & -k & k+1 & -1 =1cdotdet M,
onde
M= -2k & 2 & 0 k-1 & -1 & 2 -,k & k+1 & -1

Passo 3

Calculamos
det M =-2kl((-1)(-1)-2(k+1)r) -2l((k-1)(-1)-2(-k)r) =4k^2-2
Logo
det A=4k^2-2
e A é inversível se, e só se, 4k^2-2neq0, ou seja
k^2neqtfrac12 Long<=ftrightarrow kneqpmtfrac1raiz2

Passo 4

Para k=0 a matriz vira
A0= 1 & 0 & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0
Formamos l[A0mid I4r] e eliminamos colunas:
  1. R2>=ts R2-2R1,;R3>=ts R3+R1,;R4>=ts R4-R1.
  2. Pivot em coluna 2: R3rightarrow R2, depois R2>=ts -R2.
  3. Pivot em coluna 3: normalizar R3 e eliminar em outras linhas.
  4. Pivot em coluna 4: normalizar R4 e eliminar em outras linhas.

Passo 5

Após essas operações chegamos à forma l[I4mid Xr], onde
X= 0 & 0 & 0 & 1 0 & tfrac12 & -1 & -2 -1 & tfrac12 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 & -1
Esse X é precisamente A0^-1.

Resposta

(a) A é inversível exatamente para
kneq pmtfrac1raiz2
(b) Para k=0,
A^-1= 0 & 0 & 0 & 1 0 & 12 & -1 & -2 -1 & 12 & 0 & 0 0 & 12 & 0 & -1

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