Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede determinar se a matriz
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar
A^-1 . O método escolhido é o de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada
[Amid I] e aplicamos operações elementares até reduzir o bloco esquerdo à identidade, obtendo o inverso no bloco direito.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada
[Amid I] :
Passo 3
Pivô na coluna 1: para obter 1 em
(1,1) e zerar abaixo, fazemos
Com isso, a primeira coluna do bloco esquerdo fica
(1,0,0,0)^T .
Passo 4
Pivô na coluna 2: escalamos
R2 para ter 1 em
(2,2) e então zeramos as outras entradas da coluna 2:
Agora as duas primeiras colunas do bloco esquerdo são as colunas canônicas
e1,e2 .
Passo 5
Pivô na coluna 3: escalamos
R3 para pivô 1 em
(3,3) e zeramos acima e abaixo:
As três primeiras colunas formam agora a identidade parcial.
Passo 6
Pivô na coluna 4: escalamos
R4 para 1 em
(4,4) e fazemos a retroeliminação nas linhas 1, 2 e 3:
Ao final, o bloco esquerdo é a matriz identidade
I4 e o bloco direito é precisamente
A^-1 .
Resposta
A matriz
A é invertível (
det(A)neq 0 ) e sua inversa é