Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrrr-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1]

Passo 1

O enunciado pede determinar se a matriz
A = -2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. O método escolhido é o de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações elementares até reduzir o bloco esquerdo à identidade, obtendo o inverso no bloco direito.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [Amid I]:
[cccc|cccc -2 & -3 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 -3 & -1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -2 & 2 & -3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Pivô na coluna 1: para obter 1 em (1,1) e zerar abaixo, fazemos
R1rightarrow R2, R1 -,R1, R2 R2+2R1, R3 R3+3R1, R4 R4+2R1
Com isso, a primeira coluna do bloco esquerdo fica (1,0,0,0)^T.

Passo 4

Pivô na coluna 2: escalamos R2 para ter 1 em (2,2) e então zeramos as outras entradas da coluna 2:
R2 -tfrac13,R2, R1,;R3,;R4 ajustadas para eliminar suas entradas na coluna 2
Agora as duas primeiras colunas do bloco esquerdo são as colunas canônicas e1,e2.

Passo 5

Pivô na coluna 3: escalamos R3 para pivô 1 em (3,3) e zeramos acima e abaixo:
R3 -tfrac16,R3, R1,;R2,;R4 ajustadas para eliminar suas entradas na coluna 3
As três primeiras colunas formam agora a identidade parcial.

Passo 6

Pivô na coluna 4: escalamos R4 para 1 em (4,4) e fazemos a retroeliminação nas linhas 1, 2 e 3:
R4 -tfrac1855,R4, R1,;R2,;R3 ajustadas para zerar entradas na coluna 4
Ao final, o bloco esquerdo é a matriz identidade I4 e o bloco direito é precisamente A^-1.

Resposta

A matriz A é invertível ( det(A)neq 0) e sua inversa é
A^-1 ;=; 155, 21 & -10 & -12 & 17 -14 & 25 & 8 & 7 -17 & -5 & -6 & -19 -19 & -25 & 3 & -18

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