Questão 1 . Determine se as matrizes abaixo são inversíveis e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrrr-2 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
A = -2 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1
é invertível e, se for, achar A^-1.
Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan: montar [Amid I], transformar o bloco esquerdo na identidade e ler o inverso no bloco direito.

Passo 2

Montamos o sistema aumentado e, para facilitar o pivô em ( 1,1), trocamos R1rightarrow R3. Em seguida zeramos na coluna 1:
(rrrr|rrrr 1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 -2& 3 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 4 & -3 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ) ;xrightarrowR3to R3+2R1,;R4to R4-4R1; (rrrr|rrrr 1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -5 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 9 & 0 & 0 &-4 & 1 )

Passo 3

Usamos como pivô o 1 em posição ( 2,2) e zeramos acima e abaixo na coluna 2:
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -8 & 1 & -1& 2 & 0 0 & 0 & -1 & 6 & 0 & -1&-4 & 1 )

Passo 4

Com pivô em ( 3,3) ( =1) eliminamos na coluna 3:
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 25 & -3 & 4 & -5 & 0 0 & 1 & 0 & 19 & -2 & 3 & -4 & 0 0 & 0 & 1 & -8 & 1 & -1& 2 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & -2& -2 & 1 )

Passo 5

O pivô em ( 4,4) vale -2. Primeiro normalizamos R4to -tfrac12,R4 e depois zeramos as entradas acima na coluna 4:
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac192 & -21 & -30 & tfrac252 0 & 1 & 0 & 0 & tfrac152 & -16 & -23 & tfrac192 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 7 & 10 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & 1 & 1 & -tfrac12 )

Passo 6

Agora o bloco esquerdo é a identidade, logo A é invertível, e o bloco direito é justamente A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac192 & -21 & -30 & tfrac252 tfrac152 & -16 & -23 & tfrac192 -3 & 7 & 10 & -4 -tfrac12 & 1 & 1 & -tfrac12

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