3^{a} Questão: Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \gamma=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{l} w_{1}=2 u_{1}+u_{2}+u_{3} \\\ w_{2}=3 u_{1}+2 u_{2}+u_{3} \\\ w_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3} \end{array}\right.
(a) ( \mathbf{5} pontos) Determine a matriz mudança de base [I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Determine a matriz mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta}.
(c) ( \mathbf{1 5} pontos) Sabendo que [u]_{\gamma}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right], mostre que [u]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3, \beta=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} e \gamma=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}, com as relações (peguei estas relações do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} w_{1}=2u_{1}+u_{2}+u_{3},\\[4pt] w_{2}=3u_{1}+2u_{2}+u_{3},\\[4pt] w_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3}. \end{array}\right.
O que o exercício pede:
  • (a) Determinar a matriz mudança de base [I]_{\beta}^{\gamma}.
  • (b) Determinar a matriz mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta}.
  • (c) Sabendo que [u]_{\gamma}=\displaystyle\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}, mostrar que [u]_{\beta}=\displaystyle\begin{pmatrix}5\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Entendendo o que é a matriz [I]_{\beta}^{\gamma} (a explicação é passo a passo, sem pular etapas):
  • Quando cada vetor da base \gamma é escrito em coordenadas da base \beta, essas coordenadas viram as colunas da matriz que transforma coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta.
  • Ou seja, se A=[I]_{\beta}^{\gamma}, então para qualquer vetor v vale
[v]_{\beta}=A\,[v]_{\gamma}.
  • Aqui as coordenadas de w_{1},w_{2},w_{3} em relação à base \beta são, respectivamente, \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} (peguei essas coordenadas diretamente das relações dadas no enunciado).
  • Portanto escrevemos a matriz colocando essas coordenadas como colunas, da esquerda para a direita.
Logo
[I]_{\beta}^{\gamma}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora vamos achar [I]_{\gamma}^{\beta}. Observação conceitual rápida: esta é a matriz inversa da que acabamos de obter, porque ela deve transformar coordenadas em \beta para coordenadas em \gamma. Em símbolos,
[I]_{\gamma}^{\beta}=\big([I]_{\beta}^{\gamma}\big)^{-1}.
Denotemos
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos calcular A^{-1} passo a passo usando determinante e cofatores (método do adjunto), que é direto e dá entradas inteiras aqui.
  1. Determinante de A. Vou expandir por primeira linha:
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot1=1,
\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot1=0,
\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=-1.
Substituindo,
\det(A)=2\cdot1-3\cdot0+1\cdot(-1)=2-0-1=1.
Bom sinal: \det(A)=1, então A é invertível e o inverso terá entradas inteiras iguais aos cofatores transpostos.
  1. Matriz dos cofatores (vou calcular cada cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente):
  • C_{11}=\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1.
  • C_{12}=-\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=0.
  • C_{13}=\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-1.
  • C_{21}=-\det\begin{pmatrix}3&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-(3\cdot1-1\cdot1)=-(3-1)=-2.
  • C_{22}=\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=1.
  • C_{23}=-\det\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-(2\cdot1-3\cdot1)=-(2-3)=1.
  • C_{31}=\det\begin{pmatrix}3&1\\[2pt]2&1\end{pmatrix}=3\cdot1-1\cdot2=1.
  • C_{32}=-\det\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}=-1.
  • C_{33}=\det\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]1&2\end{pmatrix}=2\cdot2-3\cdot1=1.
Assim a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] -2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. A adjunta (adjugate) é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Finalmente
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=1\cdot\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Portanto
[I]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora a parte (c): transformar coordenadas de \gamma para coordenadas de \beta.
  • Já expliquei antes que a matriz A=[I]_{\beta}^{\gamma} satisfaz [v]_{\beta}=A\,[v]_{\gamma}.
  • Aqui [u]_{\gamma}=\displaystyle\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix} (dado do enunciado).
  • Multiplicamos A pela coluna de coordenadas em \gamma. Vou fazer a multiplicação interpretando-a como combinação linear das colunas de A: se as colunas de A são c_{1},c_{2},c_{3}, então
A\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix} =0\cdot c_{1}+2\cdot c_{2}+(-1)\cdot c_{3}.
As colunas (peguei-as da construção de A) são
c_{1}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad c_{2}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad c_{3}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Então
0\cdot c_{1}+2\cdot c_{2}-1\cdot c_{3} =2\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Portanto [u]_{\beta}=\displaystyle\begin{pmatrix}5\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}, como pedido.]

Resposta

[I]_{\beta}^{\gamma}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
[I]_{\gamma}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
[u]_{\beta}= \begin{pmatrix} 5\\[4pt] 3\\[4pt] 1 \end{pmatrix}]

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