3^{a} Questão: Considere as bases \beta=\left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} e \gamma=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} relacionadas da seguinte forma:
(a) ( \mathbf{5} pontos) Determine a matriz mudança de base [I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Determine a matriz mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta}.
(c) ( \mathbf{1 5} pontos) Sabendo que [u]_{\gamma}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right], mostre que [u]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 3 \\\\ 1\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3, \beta=\{u_{1},u_{2},u_{3}\} e \gamma=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}, com as relações (peguei estas relações do enunciado):
(a) Determinar a matriz mudança de base [I]_{\beta}^{\gamma}.
(b) Determinar a matriz mudança de base [I]_{\gamma}^{\beta}.
(c) Sabendo que [u]_{\gamma}=\displaystyle\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}, mostrar que [u]_{\beta}=\displaystyle\begin{pmatrix}5\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 2
Entendendo o que é a matriz [I]_{\beta}^{\gamma} (a explicação é passo a passo, sem pular etapas):
Quando cada vetor da base \gamma é escrito em coordenadas da base \beta, essas coordenadas viram as colunas da matriz que transforma coordenadas em \gamma para coordenadas em \beta.
Ou seja, se A=[I]_{\beta}^{\gamma}, então para qualquer vetor v vale
[v]_{\beta}=A\,[v]_{\gamma}.
Aqui as coordenadas de w_{1},w_{2},w_{3} em relação à base \beta são, respectivamente, \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} (peguei essas coordenadas diretamente das relações dadas no enunciado).
Portanto escrevemos a matriz colocando essas coordenadas como colunas, da esquerda para a direita.
Agora vamos achar [I]_{\gamma}^{\beta}. Observação conceitual rápida: esta é a matriz inversa da que acabamos de obter, porque ela deve transformar coordenadas em \beta para coordenadas em \gamma. Em símbolos,
Agora a parte (c): transformar coordenadas de \gamma para coordenadas de \beta.
Já expliquei antes que a matriz A=[I]_{\beta}^{\gamma} satisfaz [v]_{\beta}=A\,[v]_{\gamma}.
Aqui [u]_{\gamma}=\displaystyle\begin{pmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix} (dado do enunciado).
Multiplicamos A pela coluna de coordenadas em \gamma. Vou fazer a multiplicação interpretando-a como combinação linear das colunas de A: se as colunas de A são c_{1},c_{2},c_{3}, então