Questão 2: Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -1 & 0 \\\\ 3 & -1 & -1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
(a) [2 pts ] Encontre o determinante da matriz A.
(b) [2 pts ] Use o método de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa da matriz A, indicando claramente todas as operações elementares que forem efetuadas nas linhas da matriz.
(c) [2 pts ] Encontre a matriz de cofatores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0\\\\ 3 & -1 & -1 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede: (a) \det(A), (b) A^{-1} via Gauss–Jordan, mostrando as operações elementares, e (c) a matriz de cofatores de A.
O conteúdo é Álgebra Linear: determinante de matrizes triangulares, eliminação de Gauss–Jordan e cálculo de cofatores via menores e sinais.

Passo 2

Como A é block-triangular (a última coluna e última linha formam um bloco \begin{pmatrix}2\end{pmatrix} isolado), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(A)=2\cdot(-1)\cdot1\cdot2=-4.

Passo 3

Vamos aplicar Gauss–Jordan em [A\mid I_4]. Denotamos por R_i a linha i.
Inicialmente
[A\mid I_4]= \left(\begin{array}{cccc|cccc} 2 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
  1. R_1\leftarrow\tfrac12\,R_1
  2. R_2\leftarrow R_2-3\,R_1
  3. R_3\leftarrow R_3+2\,R_1
  4. R_2\leftarrow(-\tfrac{2}{5})\,R_2 (para escalar o pivô -\tfrac{5}{2} para 1)
  5. R_1\leftarrow R_1-\tfrac12\,R_2
  6. R_3\leftarrow R_3-R_2
  7. R_4\leftarrow\tfrac12\,R_4
  8. R_3\leftarrow5\,R_3 (para escalar o pivô 0,2 para 1)
  9. R_1\leftarrow R_1+\tfrac{2}{5}\,R_3
  10. R_2\leftarrow R_2+\tfrac{1}{5}\,R_3
Após essas operações, a parte esquerda fica I_4 e a direita torna-se
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 2 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para a matriz de cofatores C, calculamos para 1\le i,j\le4
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det\bigl(A\text{ sem linha }i\text{ e sem coluna }j\bigr).
Como A é block-triangular, todos os cofatores que envolvem a 4ª linha ou coluna (exceto C_{44}) são zero. Para os 3\times3 do bloco superior, obtemos
\begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2\\\\ -1 & 0 & -2\\\\ -2 & -1 & -5 \end{pmatrix},
e C_{44}=(-1)^{8}\det\bigl(bloco 3\times3\bigr)=(-1)(-1)= -1. Assim
\mathrm{cof}(A)= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & 0\\\\ -1 & 0 & -2 & 0\\\\ -2 & -1 & -5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \det(A)=-4.
(b)
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 2 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.
(c)
\mathrm{cof}(A)= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & 0\\\\ -1 & 0 & -2 & 0\\\\ -2 & -1 & -5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados