Questão 2: ( 3,0 pontos) Em cada item abaixo, verifique se a transformação linear
dada é injetora, sobrejetora e isomorfismo. Se
for um isomorfismo, determine
.
, dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares em
, injetividade, sobrejetividade e isomorfismo; para isso vamos usar a matriz de
, calcular seu determinante e, em seguida, obter a inversa quando existir.
Passo 2
Em relação à base canônica de
,
corresponde à multiplicação pela matriz
pois
]
Passo 3
Para checar injetividade e sobrejetividade, calculamos o determinante de
:
Como
, a matriz é invertível.
Passo 4
Matriz invertível implica que
é injetora (o núcleo é trivial) e sobrejetora (a imagem é todo
). Logo,
é um isomorfismo de
em
.
Passo 5
Para obter
, calculamos
Assim, se
, ou seja
, então
isto é,
Resposta
A inversa é