Questão 2: ( 3,0 pontos) Em cada item abaixo, verifique se a transformação linear T dada é injetora, sobrejetora e isomorfismo. Se T for um isomorfismo, determine T^{-1}.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(2 x-y, x+y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y) = (2x - y,\;x + y).
O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares em \mathbb{R}^n, injetividade, sobrejetividade e isomorfismo; para isso vamos usar a matriz de T, calcular seu determinante e, em seguida, obter a inversa quando existir.

Passo 2

Em relação à base canônica de \mathbb{R}^2, T corresponde à multiplicação pela matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1\\[6pt] 1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x - y\x + y\end{pmatrix} = T(x,y).]

Passo 3

Para checar injetividade e sobrejetividade, calculamos o determinante de A:
\det(A) = 2\cdot1 - (-1)\cdot1 = 2 + 1 = 3.
Como \det(A)=3\neq 0, a matriz é invertível.

Passo 4

Matriz invertível implica que T é injetora (o núcleo é trivial) e sobrejetora (a imagem é todo \mathbb{R}^2). Logo, T é um isomorfismo de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2.

Passo 5

Para obter T^{-1}, calculamos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}1\\[6pt] -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & 2 \end{pmatrix}.
Assim, se (u,v)=T(x,y), ou seja (u,v)=(2x-y,x+y), então
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix},
isto é,
x = \tfrac{1}{3}(u + v), \quad y = \tfrac{1}{3}(-u + 2v).]

Resposta

T é injetora, sobrejetora e, portanto, um isomorfismo.
A inversa é
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{1}{3}(u+v),\;\tfrac{1}{3}(-u+2v)\Bigr).

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