Questão 3 [2 pts]: Determine os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{c} x+4 y+a z=6 \\\\ 2 x-y+2 a z=3 \\\ a x+3 y+z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro a em três incógnitas x,y,z:
\begin{cases} x+4y+a z=6,\\\\ 2x-y+2a z=3,\\\ a x+3y+z=5.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para identificar quando há solução única e, nos casos singulares, verificar compatibilidade para decidir entre nenhum ou infinitas soluções.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & a\\\\ 2 & -1 & 2a\\\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(A) =1\bigl((-1)\cdot1 - (2a)\cdot3\bigr) -4\bigl(2\cdot1 - (2a)\cdot a\bigr) +a\bigl(2\cdot3 - (-1)\cdot a\bigr)
=-1-6a -4\,(2-2a^2)+a\,(6+a) =-1-6a -8+8a^2 +6a+a^2 =9a^2-9 =9(a^2-1).
Logo, para a\neq\pm1 temos \det(A)\neq0 e o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 3

Caso a=1\), substituindo no sistema obtemos \[\begin{cases} x+4y+z=6,\\\\ 2x-y+2z=3,\\\ x+3y+z=5. \end{cases}
Da primeira e da terceira equação:
(x+4y+z)-(x+3y+z)=6-5 \quad\Longrightarrow\quad y=1.
Substituindo em x+4y+z=6\] fica \(x+z=2. A segunda equação dá a mesma relação:
2x-y+2z=3 \quad\Longrightarrow\quad2x-1+2z=3 \;\Longrightarrow\;x+z=2.
Temos então uma família infinita de soluções, por exemplo
y=1,\quad z=t,\quad x=2-t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Caso a=-1\), o sistema vira \[\begin{cases} x+4y - z=6,\\\\ 2x-y -2z=3,\\\\ -\,x+3y+z=5. \end{cases}
Somando primeira e terceira equações:
(x - x)+(4y+3y)+(-z+z)=6+5 \;\Longrightarrow\;7y=11 \;\Longrightarrow\;y=\tfrac{11}{7}.
Da primeira equação (x - z=6-4y=6-\tfrac{44}{7}=-\tfrac{2}{7}]. Na segunda:
2x-y-2z=3 \;\Longrightarrow\;2(x-z)-y=3 \;\Longrightarrow\;2\bigl(-\tfrac{2}{7}\bigr)-\tfrac{11}{7}=3 \;\Longrightarrow\;-\,\tfrac{4}{7}-\tfrac{11}{7}=3 \;\Longrightarrow\;-\tfrac{15}{7}=3,
que é impossível. Logo o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

Para a\neq\pm1: exatamente uma solução.
Para a=1: infinitas soluções.
Para a=-1: nenhuma solução.

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