Questão 3 [2 pts]: Determine os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{c} x+4 y+a z=6 \\\\ 2 x-y+2 a z=3 \\\ a x+3 y+z=5 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com parâmetro a em três incógnitas x,y,z:
\begin{cases} x+4y+a z=6,\\\\ 2x-y+2a z=3,\\\ a x+3y+z=5.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para identificar quando há solução única e, nos casos singulares, verificar compatibilidade para decidir entre nenhum ou infinitas soluções.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & a\\\\ 2 & -1 & 2a\\\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Da primeira equação (x - z=6-4y=6-\tfrac{44}{7}=-\tfrac{2}{7}]. Na segunda: 2x-y-2z=3 \;\Longrightarrow\;2(x-z)-y=3 \;\Longrightarrow\;2\bigl(-\tfrac{2}{7}\bigr)-\tfrac{11}{7}=3 \;\Longrightarrow\;-\,\tfrac{4}{7}-\tfrac{11}{7}=3 \;\Longrightarrow\;-\tfrac{15}{7}=3,
que é impossível. Logo o sistema é incompatível e não tem solução.
Resposta
Para a\neq\pm1: exatamente uma solução.
Para a=1: infinitas soluções.
Para a=-1: nenhuma solução.