Questão 2 Considere a matriz real
A=(rrrr 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 2 -1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 )
(a) Determine a matriz inversa de A.
(b) Escreva A como produto de matrizes elementares;

Passo 1

O enunciado dá a matriz real
A= 1 & 0 & 2 & 0 [6pt] 0 & 0 & 1 & 2 [6pt] -1 & -1 & 0 & 0 [6pt] 1 & 1 & 0 & 1
e pede (a) sua inversa A^-1 e (b) escrever A como produto de matrizes elementares.
Conteúdo: teoria de inversão de matrizes por eliminação de Gauss–Jordan e fatoração em matrizes elementares (operações de linha).]

Passo 2

Para achar A^-1 montamos o sistema aumentado (Amid I) e aplicamos eliminação de Gauss–Jordan.
Iniciamos
l(Amid Ir)= 1 & 0 & 2 & 0 &mid& 1 &0 &0 &0[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 &mid& 0 &1 &0 &0[4pt] -1&-1& 0 & 0 &mid& 0 &0 &1 &0[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 &mid& 0 &0 &0 &1
Eliminamos primeira coluna sob o pivô (1,1):
R3 R3+R1,;R4 R4-R1]

Passo 3

Agora escolha pivô em coluna 2:
- Troque R2rightarrow R4 de forma que o pivô seja 1 em (2,2).
- Elimine o -1 em (3,2) com R3 R3+R2.

Passo 4

Para coluna 3:
- Troque R3rightarrow R4 de modo a ter pivô 1 em (3,3).
- Elimine 2 em (1,3) e -2 em (2,3) via
R1 R1-2R3,;R2 R2+2R3

Passo 5

Para coluna 4:
- Já há pivô 1 em (4,4).
- Elimine -4 em (1,4), 5 em (2,4) e 2 em (3,4) usando
R1 R1+4R4,;R2 R2-5R4,;R3 R3-2R4

Passo 6

Ao final a parte esquerda vira I4 e a direita é exatamente A^-1. Lendo as linhas obtemos
A^-1= 1 & -2 & 4 & 4[4pt] -1 & 2 & -5 & -4[4pt] 0 & 1 & -2 & -2[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 ]

Passo 7

Cada operação de linha corresponde a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda. Chamando Ek as matrizes que levariam A a I, temos
E10cdots E1,A = I Longrightarrow A = E1^-1E2^-1cdots E10^-1
Em vez de escrever Ek^-1, definimos diretamente as matrizes elementares F1,dots,F10 que, aplicadas em ;I; na ordem F10cdots F1, geram A.

Passo 8

As operações inversas em ordem (de ,Ito A) são
F₁: R3 R3+2,R4
F₂: R2 R2+5,R4
F₃: R1 R1-4,R4
F₄: R2 R2-2,R3
F₅: R1 R1+2,R3
F₆: troca R3rightarrow R4
F₇: R3 R3-,R2
F₈: troca R2rightarrow R4
F₉: R4 R4+,R1
F₁₀: R3 R3-,R1.
Cada Fk é a matriz identidade com o ajuste acima (ou a matriz de permutação para as trocas). Assim
A = F10,F9,cdots,F1

Resposta

(a)
A^-1= 1 & -2 & 4 & 4 -1 & 2 & -5 & -4 0 & 1 & -2 & -2 0 & 0 & 1 & 1
(b)
A = F10,F9,cdots,F1,
onde cada Fk é a matriz elementar correspondente às operações de linha inversas listadas no Passo 8.

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