A1, A2, ldots, An são vértices consecutivos de um polígono regular de centro O. Prove que sumi=1^n O Ai=0.

Passo 1

O enunciado diz que A1,A2,dots,An são vértices consecutivos de um polígono regular de centro O e pede para provar que
sumi=1^nOAi=0
O conteúdo usado será geometria vetorial: em polígono regular os vetores de centro a vértices formam rotações sucessivas de mesmo ângulo, e a soma de vetores obtidos por rotações uniformes se anula.

Passo 2

Seja
e seja o operador de rotação em torno de de ângulo
Então, por regularidade, cada vértice seguinte satisfaz

Passo 3

Escrevemos a soma pedida como
Multiplicando este operador pela rotação e subtraindo, obtemos
Como é rotação de ângulo , o operador é invertível. Logo
como operador linear.

Passo 4

Aplicando ao vetor , concluímos

Resposta

sumi=1^nOAi=0

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