são vértices consecutivos de um polígono regular de centro . Prove que .
Passo 1
O enunciado diz que A1,A2,dots,An são vértices consecutivos de um polígono regular de centro O e pede para provar que
sumi=1^nOAi=0
O conteúdo usado será geometria vetorial: em polígono regular os vetores de centro a vértices formam rotações sucessivas de mesmo ângulo, e a soma de vetores obtidos por rotações uniformes se anula.
Passo 2
Seja
e seja o operador de rotação em torno de de ângulo
Então, por regularidade, cada vértice seguinte satisfaz
Passo 3
Escrevemos a soma pedida como
Multiplicando este operador pela rotação e subtraindo, obtemos
Como é rotação de ângulo , o operador é invertível. Logo