Questão 2 Considere a matriz real
A=(rrrrr 1 & 0 & 2 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 )
(a) Calcule o determinante da matriz A.
(b) Determine a inversa da matriz A;
Dica: Aproveite as operações feitas na matriz A da Questão 1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz real
A= 1 & 0 & 2 & 0 & 0 -1& 0 & 0 & 2 & 0 -1&-1 & 0 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1
e pede (a) det(A) e (b) A^-1. Note que A tem forma de bloco
A=B & w 0^T & 1,
onde B é a submatriz 4times4 formada pelas quatro primeiras linhas e colunas de A e w é a coluna formada pelos quatro primeiros elementos da quinta coluna de A. Vamos usar (i) expansão de determinante e (ii) a fórmula de inversão de matriz em bloco triangular.

Passo 2

Para det(A) expandimos pela quinta linha, pois só aparece o pivô a5,5=1. Assim
det(A) =1cdot(-1)^5+5detl(M5,5r) =det(B)
Agora B é
B= 1 & 0 & 2 & 0 -1& 0 & 0 & 2 -1&-1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0
Expandindo det(B) pela segunda coluna ou pela quarta coluna chega-se a
det(B)=-2
Logo
det(A)=-2

Passo 3

Para A^-1 usamos a forma em bloco
A=B & w 0^T & 1 Longrightarrow A^-1= B^-1& -,B^-1w[6pt] 0^T & 1
Aqui w=(0,0,2,1)^T. Resta achar B^-1 e então o vetor -B^-1w.]

Passo 4

Fazendo eliminação de Gauss–Jordan em l[Bmid I4r] obtém-se
B^-1 = 1 & 0 & -2 & -2 -1& 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 1 tfrac12&tfrac12&-1&-1

Passo 5

Multiplicamos
z = B^-1w = 1 & 0 & -2 & -2 -1& 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 1 tfrac12&tfrac12&-1&-1 0021 =-643-3,
logo
-,B^-1w =6-4-33

Resposta

(a) det(A)=-2.
(b)
A^-1 = 1 & 0 & -2 & -2 & 6 -1& 0 & 1 & 2 & -4 0 & 0 & 1 & 1 & -3 tfrac12&tfrac12&-1&-1&3 0 & 0 & 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados