Questão 1 Considere a matriz real
A=(rrrrr 1 & 0 & 2 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 1 )
(a) Determine a matriz linha reduzida de Echelon de A.
(b) Resolva o sistema A X=0;

Passo 1

O enunciado dá a matriz real
A= 1 & 0 & 2 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 2 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 0 & 1
e pede (a) a forma reduzida de Echelon (RREF) de A e (b) a solução do sistema homogêneo A X=0.
Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan para obter a RREF e depois ler a solução geral de X.

Passo 2

Começamos pelo pivô na posição (1,1), que já vale 1. Usamos a linha 1 para zerar os elementos abaixo:
R2& R2 + R1, R3& R3 + R1, R4& R4 - R1
Isso leva a
1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 2 & 0 0 & -1 & 2 & 0 & 2 0 & 1 & -1 & 0 & 1

Passo 3

Para o segundo pivô, precisamos de um 1 na coluna 2 abaixo da linha 1. Trocamos
R2 ;long<=ftrightarrow; R4,
obtendo
1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 1 0 & -1 & 2 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 2 & 0
Em seguida zeramos o -1 em (3,2) usando R3 R3+R2:
1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 2 & 2 & 0

Passo 4

O terceiro pivô está em (3,3) e já vale 1. Zeramos os outros na coluna 3:
R1 & R1 - 2,R3, R2 & R2 + R3, R4 & R4 - 2,R3
Fica
1 & 0 & 0 & 0 & -6 0 & 1 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 2 & -6

Passo 5

O quarto pivô está em (4,4) e vale 2. Dividimos a linha 4 por 2:
R4 tfrac12 R4 Longrightarrow 1 & 0 & 0 & 0 & -6 0 & 1 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & -3
Não há mais eliminacões a fazer, pois todas as outras entradas em coluna 4 já são zero.

Passo 6

A forma reduzida de Echelon (RREF) final é
1 & 0 & 0 & 0 & -6 0 & 1 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & -3
Dessa RREF tiramos o sistema equivalente:
x1 -6x5 = 0, x2 +4x5 = 0, x3 +3x5 = 0, x4 -3x5 = 0,
onde x5 é variável livre.

Resposta

(a) A RREF de A é
1 & 0 & 0 & 0 & -6 0 & 1 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & -3
(b) A solução geral de A X=0 é
X = x5 6 -4 -3 3 1 ,
com x5inR livre.

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