1. Seja V o espaço vetorial de todas as funções de R em R. Seja Vp o subconjunto de V de todas as funções pares, i.e., tais que f(-x)=f(x), para todo x in R; e seja Vi o subconjunto de V de todas as funções ímpares, i.e., tais que f(-x)=-f(x), para todo x in R. Prove que Vp e Vi são subespaços de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as funções RtoR. Dois subconjuntos são dados:
Vp=fin Vmid f(-x)=f(x) forall xinR,
Vi=fin Vmid f(-x)=-f(x) forall xinR
Queremos provar que Vp e Vi são subespaços de V.
Para isso usamos o critério de subespaço: um subconjunto não vazio de espaço vetorial é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que Vp é subespaço de V.
Primeiro, a função zero 0colonRtoR dada por 0(x)=0 satisfaz
0(-x)=0=0(x),
logo 0in Vp.
Agora, sejam f,gin Vp. Então, para todo xinR,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+gin Vp.
Por fim, para qualquer escalar alphainR,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin Vp.
Concluímos que Vp contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, sendo assim um subespaço de V.

Passo 3

Mostramos que Vi é subespaço de V.
A função zero 0 satisfaz
0(-x)=0=-0= -,0(x),
portanto 0in Vi.
Sejam f,gin Vi. Então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-(f+g)(x),
logo f+gin Vi.
Para qualquer escalar alphainR,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alphal(-f(x)r)=-alpha f(x)=-(alpha f)(x),
logo alpha fin Vi.
Assim, Vi também contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, sendo subespaço de V.

Resposta

Vp e Vi são subespaços de V.

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