- Seja
o espaço vetorial de todas as funções de
em
. Seja
o subconjunto de
de todas as funções pares, i.e., tais que
, para todo
; e seja
o subconjunto de
de todas as funções ímpares, i.e., tais que
, para todo
. Prove que
e
são subespaços de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções
. Dois subconjuntos são dados:
Queremos provar que
e
são subespaços de
.
Para isso usamos o critério de subespaço: um subconjunto não vazio de espaço vetorial é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação escalar.
Para isso usamos o critério de subespaço: um subconjunto não vazio de espaço vetorial é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
é subespaço de
.
Primeiro, a função zero dada por
satisfaz
Primeiro, a função zero
logo
.
Agora, sejam . Então, para todo
,
Agora, sejam
logo
.
Por fim, para qualquer escalar ,
Por fim, para qualquer escalar
logo
.
Concluímos que contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, sendo assim um subespaço de
.
Concluímos que
Passo 3
Mostramos que
é subespaço de
.
A função zero satisfaz
A função zero
portanto
.
Sejam . Então
Sejam
logo
.
Para qualquer escalar ,
Para qualquer escalar
logo
.
Assim, também contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, sendo subespaço de
.
Assim,