Seja V o espaço vetorial real de todas as funções de R em R. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de V ?
(i) de todas as funções f tais que f(x^2)=[f(x)]^2.
(ii) de todas as funções f tais que f(0)=f(1).
(iii) de todas as funções f tais que f(-1)=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as funções de R em R e pede para verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços de V:
(i) fmid f(x^2)=[f(x)]^2,
(ii) fmid f(0)=f(1),
(iii) fmid f(-1)=0.
O conteúdo usado será o teste de subespaço: verificar se cada conjunto contém a função zero, fecha sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Analisando o conjunto (i). A função zero f0(x)=0 satisfaz
f0(x^2)=0=[f0(x)]^2
Porém, dado f em (i) e lambdainR,
(lambda f)(x^2)=lambda,[f(x)]^2, [(lambda f)(x)]^2=lambda^2,[f(x)]^2,
e em geral lambdaneqlambda^2. Logo não há fechamento sob multiplicação escalar, de modo que (i) não é subespaço.

Passo 3

Analisando o conjunto (ii). A função zero satisfaz f0(0)=0=f0(1). Se f e g estão em (ii), então
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=(f+g)(1),
e para todo lambdainR,
(lambda f)(0)=lambda f(0)=lambda f(1)=(lambda f)(1)
Assim (ii) fecha sob soma e escalar, logo é subespaço.

Passo 4

Analisando o conjunto (iii). A função zero satisfaz f0(-1)=0. Se f e g estão em (iii),
(f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=0, (lambda f)(-1)=lambda f(-1)=0
Logo (iii) também fecha sob soma e escalar, sendo subespaço.

Resposta

Os conjuntos (ii) e (iii) são subespaços de V; o conjunto (i) não é.

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