Seja
o espaço vetorial real de todas as funções de
em
. Quais dos seguintes conjuntos de funções são subespaços de
?
(i) de todas as funções
tais que
.
(ii) de todas as funções
tais que
.
(iii) de todas as funções
tais que
.
(i) de todas as funções
(ii) de todas as funções
(iii) de todas as funções
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções de
em
e pede para verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
:
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
O conteúdo usado será o teste de subespaço: verificar se cada conjunto contém a função zero, fecha sob soma e sob multiplicação escalar.
(i)
(ii)
(iii)
O conteúdo usado será o teste de subespaço: verificar se cada conjunto contém a função zero, fecha sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Analisando o conjunto (i). A função zero
satisfaz
Porém, dado
em (i) e
,
e em geral
. Logo não há fechamento sob multiplicação escalar, de modo que (i) não é subespaço.
Passo 3
Analisando o conjunto (ii). A função zero satisfaz
. Se
e
estão em (ii), então
e para todo
,
Assim (ii) fecha sob soma e escalar, logo é subespaço.
Passo 4
Analisando o conjunto (iii). A função zero satisfaz
. Se
e
estão em (iii),
Logo (iii) também fecha sob soma e escalar, sendo subespaço.
Resposta
Os conjuntos (ii) e (iii) são subespaços de
; o conjunto (i) não é.