Precisamos mostrar que uma delas é combinação linear das demais e, em seguida, extrair uma base do subespaço gerado por \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}. Para isso, vamos tratar cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^{4} (ordenando as componentes linha a linha) e resolver um sistema para verificar dependência linear.
Passo 2
Suponha que existam escalares x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} tais que
Da segunda equação vem x_{1}=x_{3}\). Substituindo em todas as outras, o sistema reduz-se a
\[\begin{cases} 3x_{3}+2x_{2}+3x_{4}=0,\\\\ 7x_{3}+2x_{2}+5x_{4}=0,\\\\ -\,x_{3}-2x_{2}-5x_{4}=0. \end{cases}
Inserindo em 3x_{3}+2x_{2}+3x_{4}=0\] dá
\[3x_{3} - (x_{3}+5x_{4}) +3x_{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3}-2x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=x_{4}.\]
Logo podemos tomar \(x_{3}=1 de modo que
Portanto A_{1} é combinação das outras três. Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^{4} e já encontramos uma dependência, o subespaço gerado tem dimensão 3. Basta escolher qualquer tripla independente, por exemplo \{A_{2},A_{3},A_{4}\}, que não satisfaz outra relação de dependência não trivial.
Resposta
A matriz dependente é
A_{1}=3A_{2}-A_{3}-A_{4}.
Uma base para \mathrm{span}\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\} é