Questão 3. Considere as matrizes
A_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 4 & -3 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right), \quad A_{4}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ 5 & -5 \end{array}\right)
Mostre que uma delas é combinação linear das demais e encontre uma base do subespaço vetorial gerado por \left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 4 & -3\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix},\quad A_{4}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 5 & -5\end{pmatrix}.
Precisamos mostrar que uma delas é combinação linear das demais e, em seguida, extrair uma base do subespaço gerado por \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}. Para isso, vamos tratar cada matriz como um vetor em \mathbb{R}^{4} (ordenando as componentes linha a linha) e resolver um sistema para verificar dependência linear.

Passo 2

Suponha que existam escalares x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} tais que
x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}+x_{4}A_{4} = 0_{2\times2}.
Escrevendo a igualdade por entradas, obtemos o sistema
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=0,\\[6pt] x_{1}+0\cdot x_{2}-x_{3}+0\cdot x_{4}=0,\\[6pt] 4x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+5x_{4}=0,\\[6pt] -3x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-5x_{4}=0. \end{cases}]

Passo 3

Da segunda equação vem x_{1}=x_{3}\). Substituindo em todas as outras, o sistema reduz-se a \[\begin{cases} 3x_{3}+2x_{2}+3x_{4}=0,\\\\ 7x_{3}+2x_{2}+5x_{4}=0,\\\\ -\,x_{3}-2x_{2}-5x_{4}=0. \end{cases}
Da terceira obtenho
2x_{2} = -\,x_{3}-5x_{4} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = -\frac{x_{3}+5x_{4}}{2}.
Inserindo em 3x_{3}+2x_{2}+3x_{4}=0\] dá \[3x_{3} - (x_{3}+5x_{4}) +3x_{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3}-2x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=x_{4}.\] Logo podemos tomar \(x_{3}=1 de modo que
x_{1}=x_{3}=1,\quad x_{4}=1,\quad x_{2}=-\frac{1+5\cdot1}{2}=-3.

Passo 4

A solução não trivial
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(1,-3,1,1)
significa
1\cdot A_{1}-3\cdot A_{2}+1\cdot A_{3}+1\cdot A_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad A_{1}=3A_{2}-A_{3}-A_{4}.
Portanto A_{1} é combinação das outras três. Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^{4} e já encontramos uma dependência, o subespaço gerado tem dimensão 3. Basta escolher qualquer tripla independente, por exemplo \{A_{2},A_{3},A_{4}\}, que não satisfaz outra relação de dependência não trivial.

Resposta

A matriz dependente é
A_{1}=3A_{2}-A_{3}-A_{4}.
Uma base para \mathrm{span}\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\} é
\{\,A_{2},\,A_{3},\,A_{4}\}.

Exercícios relacionados